As funções
são linearmente independentes?
Passo 1
O enunciado pergunta se as funções
são linearmente independentes no espaço das funções reais de variável real. O conteúdo aqui é o conceito de independência linear de funções e vamos usar a ortogonalidade das funções cosseno em
para mostrar que qualquer combinação linear que se anule identicamente implica coeficientes nulos.
Passo 2
Suponha que existam constantes reais
tais que para todo
valha
Queremos provar que necessariamente
.
Passo 3
Usamos a propriedade de ortogonalidade dos cossenos no intervalo
, que diz:
Passo 4
Multiplicamos a combinação que se anula por
e integramos de
a
. Para um índice fixo
entre
e
temos
Pela linearidade da integral,
Passo 5
Pela ortogonalidade, todos os termos com
se anulam, sobrando apenas
Logo
. Como isso vale para todo
, concluímos que todos os
são nulos.
Resposta
Sim, as funções
são linearmente independentes.