Calcule
\tan 225^{\circ}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o valor de \tan 225^{\circ}.
Informações dadas: o ângulo é \,225^{\circ}\,.

Passo 2

Lembrando a definição básica (aula rápida): a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Em fórmula:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Também é útil saber duas propriedades simples:
  • Período da tangente: \tan(\theta+180^{\circ})=\tan\theta. Isso porque seno e cosseno mudam de sinal ao somar 180^{\circ} e o sinal se cancela na razão.
  • Ângulo de referência: ao ter um ângulo \theta que excede 180^{\circ}, pode-se escrever \theta=180^{\circ}+\alpha e usar \alpha (o ângulo de referência) para relacionar valores trigonométricos.

Passo 3

Identificar a posição do ângulo: 225^{\circ} está no terceiro quadrante, e pode ser escrito como
225^{\circ}=180^{\circ}+45^{\circ}.
O ângulo de referência é \,45^{\circ}\,.

Passo 4

Usando a periodicidade da tangente:
\tan 225^{\circ}=\tan(180^{\circ}+45^{\circ})=\tan 45^{\circ}.
Sabendo que
\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
\tan 45^{\circ}=\frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Passo 5

Verificação via sinais no terceiro quadrante (confirmação): para \theta=180^{\circ}+45^{\circ} vale
\sin(180^{\circ}+45^{\circ})=-\sin 45^{\circ}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2},
\cos(180^{\circ}+45^{\circ})=-\cos 45^{\circ}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\tan 225^{\circ}=\frac{\sin 225^{\circ}}{\cos 225^{\circ}}=\frac{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1,
o que confirma o resultado.

Resposta

1

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