Calcule
\sin 210^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \sin 210^\circ.
Informações dadas:
  • O ângulo é \;210^\circ\; (está em graus).
  • Não há mais dados; usar conhecimentos básicos sobre seno e posição do ângulo no círculo trigonométrico.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): na circunferência trigonométrica (raio 1) o seno de um ângulo \theta é a ordenada (coordenada y) do ponto na circunferência correspondente a esse ângulo medido a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário. Em palavras: \sin\theta = “quanto sobe/ desce” no eixo y.
Sinais por quadrante (método prático para a prova):
  • Quadrante I: \theta\in(0^\circ,90^\circ) \sin\theta>0.
  • Quadrante II: \theta\in(90^\circ,180^\circ) \sin\theta>0.
  • Quadrante III: \theta\in(180^\circ,270^\circ) \sin\theta<0.
  • Quadrante IV: \theta\in(270^\circ,360^\circ) \sin\theta<0.
Também é muito útil o conceito de ângulo de referência (reference angle): para um ângulo \theta fora do primeiro quadrante, a medida do ângulo até o eixo mais próximo (em magnitude) chama-se ângulo de referência \alpha. O valor absoluto de \sin\theta é igual a \sin\alpha; o sinal depende do quadrante.

Passo 3

Localizar \;210^\circ\; no círculo:
  • Observa-se que 210^\circ está entre 180^\circ e 270^\circ, portanto no terceiro quadrante. Pela regra acima, o seno nesse quadrante é negativo.
Escreve-se o ângulo como soma para achar o ângulo de referência:
210^\circ = 180^\circ + 30^\circ.
O ângulo de referência é \alpha = 30^\circ.

Passo 4

Identidade prática para este caso (pode decorar para prova):
\sin(180^\circ+\alpha) = -\sin(\alpha),
porque o ponto correspondente a 180^\circ+\alpha tem coordenada y igual a -\sin\alpha (mesma magnitude de \sin\alpha, mas negativa no terceiro quadrante).

Passo 5

Aplicando a identidade com \alpha=30^\circ e usando o valor conhecido \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}:
\sin 210^\circ = \sin(180^\circ+30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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