Calcule
\frac{\tan 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão
\frac{\tan 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}.
Informações dadas:
  • O numerador é \tan 45^{\circ}.
  • O denominador é \sin 30^{\circ}.
    A tarefa é avaliar numericamente essa fração.

Passo 2

Vamos lembrar definições e relações básicas que vou usar:
  • A função seno de um ângulo \theta, \sin\theta, num triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto a \theta e a hipotenusa.
  • A função cosseno de um ângulo \theta, \cos\theta, é a razão entre o cateto adjacente a \theta e a hipotenusa.
  • A tangente de \theta pode ser definida em termos de seno e cosseno:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Essas definições permitem calcular valores de ângulos especiais como 30^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ} sem calculadora.

Passo 3

Calcular \tan 45^{\circ}. Use um triângulo retângulo isósceles (ângulos 45^{\circ},45^{\circ},90^{\circ}):
  • Tome os catetos iguais com comprimento 1. Então a hipotenusa vale \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Assim
\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Pela definição de tangente,
\tan 45^{\circ}=\frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Passo 4

Calcular \sin 30^{\circ}. Use um triângulo formado ao dividir um triângulo equilátero em duas partes:
  • Considere um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2, cateto menor 1 (metade da base) e cateto maior \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.
  • No triângulo retângulo correspondente ao ângulo 30^{\circ}, o cateto oposto vale 1 e a hipotenusa vale 2. Portanto
\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores encontrados na expressão original:
\frac{\tan 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, então
\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto o valor da expressão é 2.

Resposta

2

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