Estude os sinais das funções definidas nos reais:
Passo 1
O enunciado dá a função definida para todos os reais:
.
O que se pede: estudar os sinais dessa função nos reais, ou seja:
O que se pede: estudar os sinais dessa função nos reais, ou seja:
- determinar para quais valores de
temos ; - determinar para quais valores de
temos ; - determinar para quais valores de
temos .
Informação fornecida: a expressão algébrica da função é(domínio: todos os reais).
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicadinho): estudar os sinais de uma função significa encontrar onde a expressão é positiva, nula ou negativa. Para funções polinomiais lineares como
(com
) isso é simples:
- a raiz (zero) ocorre quando
, ou seja ; - por ser uma reta, o sinal só pode mudar nesse ponto; à esquerda e à direita da raiz o sinal é constante (exceto no ponto da raiz, onde é zero).
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Calcular a raiz (o ponto onde
):
Resolver: somando
aos dois lados e subtraindo
dá
Portanto a função se anula em
.
Passo 4
Uma forma útil de ver o sinal é fatorar a expressão:
Isso diz:
é o negativo de
. Então o sinal de
é o oposto do sinal de
.
- Se
(isto é, ), então é positivo e é negativo, logo . - Se
(isto é, ), então é negativo e é positivo, logo . - Se
(isto é, ), então .
Passo 5
Verificação com pontos-testes (sempre bom na prova para ficar seguro):
- Para
: — confirma que para a função é positiva. - Para
: — confirma que para a função é negativa.
Também é útil imaginar a reta: intercepta o eixoem e tem coeficiente angular (desce), cruzando o eixo em . A reta muda de positiva para negativa ao passar por .
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo o método):
- Encontre a raiz resolvendo
. - Fatore quando possível (aqui
) para ver rapidamente o sinal. - Use pontos à esquerda e à direita da raiz para confirmar, se quiser.
Esse procedimento é rápido e confiável para qualquer função linear.