Responda:
A função f é definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}. Sabe-se que \mathrm{f}(-1)=3 e \mathrm{f}(1)=1. Determine o valor de \mathrm{f}(3).

Passo 1

O enunciado dá uma função afim e pede um valor específico. Informações que temos:
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}.
  • Sabemos que \mathrm{f}(-1)=3.
  • Sabemos que \mathrm{f}(1)=1.
  • O que se pede: determinar \mathrm{f}(3).

Passo 2

Rápida explicação do que representam \mathrm{a} e \mathrm{b} na função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}:
  • \mathrm{a} é o coeficiente angular (a inclinação da reta): indica quanto \mathrm{f}(\mathrm{x}) muda quando \mathrm{x} aumenta em uma unidade.
  • \mathrm{b} é o coeficiente linear (valor da função em \mathrm{x}=0): é onde a reta intercepta o eixo y.
    Como temos dois pontos (dados por \mathrm{f}(-1)=3 e \mathrm{f}(1)=1), dá para determinar os dois parâmetros \mathrm{a} e \mathrm{b} resolvendo um sistema linear com duas equações.

Passo 3

Escrevendo as equações que vêm das condições indicadas:
  • De \mathrm{f}(-1)=3 obtemos \mathrm{a}(-1)+\mathrm{b}=3, ou seja
-\mathrm{a}+\mathrm{b}=3.
  • De \mathrm{f}(1)=1 obtemos \mathrm{a}(1)+\mathrm{b}=1, ou seja
\mathrm{a}+\mathrm{b}=1.

Passo 4

Vamos resolver o sistema
\begin{cases} -\mathrm{a}+\mathrm{b}=3,\\[4pt] \mathrm{a}+\mathrm{b}=1. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar \mathrm{a}:
(-\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{a}+\mathrm{b})=3+1
isso dá
2\mathrm{b}=4.
Logo
\mathrm{b}=2.
Agora substituímos \mathrm{b}=2 em \mathrm{a}+\mathrm{b}=1:
\mathrm{a}+2=1 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{a}=-1.]

Passo 5

Agora que achamos \mathrm{a}=-1 e \mathrm{b}=2, calculamos \mathrm{f}(3):
\mathrm{f}(3)=\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{b}=3\mathrm{a}+\mathrm{b}=3(-1)+2=-3+2=-1.

Resposta

-1

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