Calcule a tensão sobre os resistores R_{2}, R_{3} utilizando as Leis de Kirchhoff.
U_{R2}=
U_{R3}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular as tensões sobre os resistores R_{2} e R_{3} usando as Leis de Kirchhoff. As incógnitas são:
  • U_{R2} (tensão no resistor R_{2}),
  • U_{R3} (tensão no resistor R_{3}).
Informações relevantes (peguei estes valores da imagem fornecida):
  • Fonte esquerda: 96\\ \text{V}.
  • Fonte direita: 24\\ \text{V}.
  • R_{1}=6\\ \Omega.
  • R_{2}=3\\ \Omega.
  • R_{3}=4\\ \Omega.
  • R_{4}=4\\ \Omega.
  • R_{5}=6\\ \Omega.
  • O nó inferior (linha inferior) será tomado como referência (0\\ \text{V}).

Passo 2

Escolha do método: vou usar análise nodal (aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes em nós) porque temos vários ramos que se encontram em dois nós superiores desconhecidos e as duas fontes já definem tensões conhecidas em pontos extremos; isso torna a análise nodal direta e mais simples do que malhas aqui. Explico a ideia básica antes de aplicar.

Passo 3

Conceitos e fórmulas que vou usar (aulas rápidas):
  • Lei de Kirchhoff das Correntes (KCL): em um nó, a soma algébrica das correntes que saem (ou entram) é zero.
  • Lei de Ohm: V=I\cdot R. Aqui, para um resistor R entre dois nós com tensões V_{x} e V_{y}, a corrente de x para y é (V_{x}-V_{y})/R.
  • Vou definir as tensões dos nós superiores (com relação ao nó inferior que é 0\\ \text{V}):
    • V_{A} = potencial do nó entre R_{1},R_{2},R_{3}.
    • V_{B} = potencial do nó entre R_{3},R_{4},R_{5}.
  • Observações sobre as tensões pedidas:
    • U_{R2} é a tensão sobre R_{2}, que conecta V_{A} ao terra; então U_{R2}=V_{A}-0=V_{A}.
    • U_{R3} é a tensão entre os nós A e B; tomarei U_{R3}=V_{A}-V_{B} (positiva na direção A\to B).

Passo 4

Escrevendo as equações KCL nos nós (cada corrente escrita como diferença de potencial sobre resistência).
No nó A as correntes saindo de A são:
  • para a fonte/ramo à esquerda (através de R_{1}): \dfrac{V_{A}-96}{R_{1}},
  • para o nó B (através de R_{3}): \dfrac{V_{A}-V_{B}}{R_{3}},
  • para o terra (através de R_{2}): \dfrac{V_{A}-0}{R_{2}}.
Pela KCL:
\frac{V_{A}-96}{R_{1}}+\frac{V_{A}-V_{B}}{R_{3}}+\frac{V_{A}}{R_{2}}=0.
Agora substituo os valores R_{1}=6\\ \Omega, R_{2}=3\\ \Omega, R_{3}=4\\ \Omega. Ficando
\frac{V_{A}-96}{6}+\frac{V_{A}-V_{B}}{4}+\frac{V_{A}}{3}=0.

Passo 5

Simplifico a equação do nó A. Multiplico ambos os lados por 12 (mínimo múltiplo de 6,4,3):
2(V_{A}-96)+3(V_{A}-V_{B})+4V_{A}=0.
Desenvolvendo:
2V_{A}-192+3V_{A}-3V_{B}+4V_{A}=0.
Agrupando termos:
(2+3+4)V_{A}-3V_{B}-192=0,
9V_{A}-3V_{B}=192.
Dividindo por 3 para simplificar:
3V_{A}-V_{B}=64. \tag{1}

Passo 6

Agora no nó B as correntes saindo de B são:
  • para o nó A (através de R_{3}): \dfrac{V_{B}-V_{A}}{R_{3}},
  • para a fonte/ramo à direita (através de R_{5}): \dfrac{V_{B}-24}{R_{5}},
  • para o terra (através de R_{4}): \dfrac{V_{B}-0}{R_{4}}.
Pela KCL:
\frac{V_{B}-V_{A}}{R_{3}}+\frac{V_{B}-24}{R_{5}}+\frac{V_{B}}{R_{4}}=0.
Substituindo R_{3}=4\\ \Omega, R_{5}=6\\ \Omega, R_{4}=4\\ \Omega:
\frac{V_{B}-V_{A}}{4}+\frac{V_{B}-24}{6}+\frac{V_{B}}{4}=0.

Passo 7

Simplifico a equação do nó B. Multiplico por 12:
3(V_{B}-V_{A})+2(V_{B}-24)+3V_{B}=0.
Desenvolvendo:
3V_{B}-3V_{A}+2V_{B}-48+3V_{B}=0.
Agrupando termos:
-3V_{A}+(3+2+3)V_{B}-48=0,
-3V_{A}+8V_{B}=48. \tag{2}

Passo 8

Resolver o sistema linear formado por (1)\) e \((2)\): \[\begin{cases} 3V_{A}-V_{B}=64,\\[4pt] -3V_{A}+8V_{B}=48. \end{cases}
Da equação (1)\] isolo \(V_{B}:
V_{B}=3V_{A}-64.
Substituo em (2):
-3V_{A}+8(3V_{A}-64)=48.
Calculo:
-3V_{A}+24V_{A}-512=48,
21V_{A}=560,
V_{A}=\dfrac{560}{21}=\dfrac{80}{3}\\ \text{V}.
Agora V_{B}=3V_{A}-64:
V_{B}=3\cdot\dfrac{80}{3}-64=80-64=16\\ \text{V}.]

Passo 9

Determinar as tensões pedidas:
  • U_{R2}=V_{A}. Então
U_{R2}=\dfrac{80}{3}\\ \text{V}\approx 26,666\\ \text{V}.
  • U_{R3}=V_{A}-V_{B}. Então
U_{R3}=\dfrac{80}{3}-16=\dfrac{80}{3}-\dfrac{48}{3}=\dfrac{32}{3}\\ \text{V}\approx 10,666\\ \text{V}.
(Faço um chequinho rápido: inserindo V_{A} e V_{B} nas equações originais as igualdades são satisfeitas, logo solução consistente.)

Resposta

U_{R2}=\dfrac{80}{3}\\ \text{V}\approx 26{,}666\\ \text{V}
U_{R3}=\dfrac{32}{3}\\ \text{V}\approx 10{,}666\\ \text{V}

Exercícios relacionados