. Calcule o tensor de inércia de uma lâmina quadrada de lado
, no plano
, com origem do sistema de coordenadas no vértice inferior esquerdo da lâmina (lâmina na região
).
Passo 1
O enunciado pede: calcular o tensor de inércia de uma lâmina quadrada de lado
, localizada no plano
, com o sistema de coordenadas tendo a origem no vértice inferior esquerdo da lâmina. A lâmina ocupa a região
Informações dadas e escolhas que fazemos (sem perguntar nada):
- A lâmina é fina (massa distribuída apenas na superfície), e tem massa total
(vamos usar como massa total). - A densidade superficial é uniforme; definimos
como densidade de massa por unidade de área. - Matematicamente:
.
A partir daqui vamos calcular cada componente do tensor de inércia relativamente à origem indicada.
Passo 2
Fórmula do tensor de inércia para uma distribuição de massa contínua (planar, aqui) e interpretação das quantidades: para coordenadas
,
onde:
-
é a densidade superficial (massa por área). -
é o quadrado da distância ao eixo da origem. -
é o delta de Kronecker: se e se . -
são os produtos das coordenadas (por exemplo ).
Explicando: essa fórmula dá os elementos do tensor. Para uma lâmina no plano muitas integrais envolvendo serão nulas ou simplificadas.
Passo 3
Calcular a densidade superficial
:
Vou usar essa
nas integrais.
Passo 4
Cálculo de
. Pela fórmula,
Como a lâmina está em
, temos
. Logo
Agora calculamos a integral sobre o quadrado
:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Pelo mesmo raciocínio simétrico,
A integral
é análoga à anterior (permuta
por
):
logo
Passo 6
Cálculo de
. Pela definição,
Usando os resultados anteriores,
então
Passo 7
Cálculo dos termos fora da diagonal. Começando por
(que é igual a
):
pois
. Calculamos
Assim
Os termos
e
envolvem integrais com
e, como
em toda a lâmina,
Passo 8
Montando o tensor de inércia (matriz
) em coordenadas
com origem no vértice inferior esquerdo: