. Calcule o tensor de inércia de uma lâmina quadrada de lado a, no plano x y, com origem do sistema de coordenadas no vértice inferior esquerdo da lâmina (lâmina na região x \geq 0, y \geq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede: calcular o tensor de inércia de uma lâmina quadrada de lado a, localizada no plano xy, com o sistema de coordenadas tendo a origem no vértice inferior esquerdo da lâmina. A lâmina ocupa a região
0 \le x \le a,\qquad 0 \le y \le a,\qquad z=0.
Informações dadas e escolhas que fazemos (sem perguntar nada):
  • A lâmina é fina (massa distribuída apenas na superfície), e tem massa total \,M (vamos usar M como massa total).
  • A densidade superficial é uniforme; definimos \sigma como densidade de massa por unidade de área.
  • Matematicamente: \sigma = \dfrac{M}{a^{2}}.
    A partir daqui vamos calcular cada componente do tensor de inércia relativamente à origem indicada.

Passo 2

Fórmula do tensor de inércia para uma distribuição de massa contínua (planar, aqui) e interpretação das quantidades: para coordenadas x_1=x,\,x_2=y,\,x_3=z,
I_{ij}=\iint_{A}\sigma\bigl(r^{2}\delta_{ij}-x_i x_j\bigr)\,dA,
onde:
  • \sigma é a densidade superficial (massa por área).
  • r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da distância ao eixo da origem.
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker: \delta_{ij}=1 se i=j e 0 se i\neq j.
  • x_i x_j são os produtos das coordenadas (por exemplo x_1x_2=xy).
    Explicando: essa fórmula dá os elementos do tensor 3\times3. Para uma lâmina no plano z=0 muitas integrais envolvendo z serão nulas ou simplificadas.

Passo 3

Calcular a densidade superficial \sigma:
\sigma=\frac{M}{a^{2}}.
Vou usar essa \sigma nas integrais.

Passo 4

Cálculo de I_{xx}. Pela fórmula,
I_{xx}=\iint_{A}\sigma\bigl(r^{2}\delta_{11}-x_{1}x_{1}\bigr)\,dA =\iint_{A}\sigma\bigl((x^{2}+y^{2}+z^{2})-x^{2}\bigr)\,dA =\iint_{A}\sigma\,(y^{2}+z^{2})\,dA.
Como a lâmina está em z=0, temos z^{2}=0. Logo
I_{xx}=\sigma\iint_{A} y^{2}\,dA.
Agora calculamos a integral sobre o quadrado 0\le x\le a,\;0\le y\le a:
\iint_{A} y^{2}\,dA=\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} y^{2}\,dx\,dy =\int_{0}^{a}\Bigl(y^{2}\int_{0}^{a}dx\Bigr)dy =\int_{0}^{a} y^{2}\,a\,dy =a\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{4}}{3}.
Portanto
I_{xx}=\sigma\frac{a^{4}}{3}=\frac{M}{a^{2}}\cdot\frac{a^{4}}{3}=\frac{M a^{2}}{3}.

Passo 5

Cálculo de I_{yy}. Pelo mesmo raciocínio simétrico,
I_{yy}=\sigma\iint_{A} x^{2}\,dA.
A integral \iint_{A} x^{2}\,dA é análoga à anterior (permuta x por y):
\iint_{A} x^{2}\,dA=\frac{a^{4}}{3},
logo
I_{yy}=\sigma\frac{a^{4}}{3}=\frac{M a^{2}}{3}.

Passo 6

Cálculo de I_{zz}. Pela definição,
I_{zz}=\iint_{A}\sigma\bigl(r^{2}\delta_{33}-z^{2}\bigr)\,dA =\iint_{A}\sigma\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-z^{2}\bigr)\,dA =\sigma\iint_{A}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.
Usando os resultados anteriores,
\iint_{A}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA=\frac{a^{4}}{3}+\frac{a^{4}}{3}=\frac{2a^{4}}{3},
então
I_{zz}=\sigma\cdot\frac{2a^{4}}{3}=\frac{M}{a^{2}}\cdot\frac{2a^{4}}{3}=\frac{2M a^{2}}{3}.

Passo 7

Cálculo dos termos fora da diagonal. Começando por I_{xy} (que é igual a I_{yx}):
I_{xy}= \iint_{A}\sigma\bigl(r^{2}\delta_{12}-x y\bigr)\,dA = -\sigma\iint_{A} x y\,dA,
pois \delta_{12}=0. Calculamos
\iint_{A} x y\,dA=\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} x y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{a}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{a}y\,dy\Bigr) =\left(\frac{a^{2}}{2}\right)\left(\frac{a^{2}}{2}\right) =\frac{a^{4}}{4}.
Assim
I_{xy}= -\sigma\frac{a^{4}}{4}=-\frac{M}{a^{2}}\cdot\frac{a^{4}}{4}=-\frac{M a^{2}}{4}.
Os termos I_{xz} e I_{yz} envolvem integrais com z e, como z=0 em toda a lâmina,
I_{xz}=I_{yz}=0.

Passo 8

Montando o tensor de inércia (matriz 3\times3) em coordenadas (x,y,z) com origem no vértice inferior esquerdo:
I=\begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{M a^{2}}{3} & -\dfrac{M a^{2}}{4} & 0\\[6pt] -\dfrac{M a^{2}}{4} & \dfrac{M a^{2}}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{2 M a^{2}}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

I=\begin{pmatrix} \dfrac{M a^{2}}{3} & -\dfrac{M a^{2}}{4} & 0\\[6pt] -\dfrac{M a^{2}}{4} & \dfrac{M a^{2}}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{2 M a^{2}}{3} \end{pmatrix}]

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