Escreva as componentes do tensor
\mathbf{A} correspondentes à rotação de um ângulo
\varphi em torno do eixo
x.

Passo 1

O enunciado pede: escrever as componentes do tensor \mathbf{A} que representa uma rotação de um ângulo \varphi em torno do eixo x.
Informações dadas: o ângulo de rotação é \varphi e o eixo de rotação é o eixo x. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa “componentes do tensor” no contexto de rotações: aqui o tensor é um operador linear que age sobre vetores em \mathbb{R}^3 e, numa base canônica, é representado por uma matriz 3\times3. Se escrevemos essa matriz como A, suas componentes são os elementos A_{ij} tais que, para um vetor coluna v com componentes v_j, o vetor rotacionado v' tem componentes
v'_i=\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\,v_j.
Uma forma prática de construir A é aplicar a rotação aos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0) e \mathbf{e}_3=(0,0,1). As imagens desses vetores serão as colunas da matriz A (isso vem da forma de multiplicação A\mathbf{e}_j = coluna j de A).

Passo 3

Vamos usar a ideia visual: uma rotação em torno do eixo x não altera a coordenada x (pontos sobre o eixo x ficam fixos) e realiza uma rotação no plano yz. Portanto podemos analisar separadamente o comportamento na direção x e no plano yz.

Passo 4

Imagem de \mathbf{e}_1. Como a rotação é em torno do eixo x, qualquer vetor ao longo do eixo x permanece igual. Logo
A\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_1=(1,0,0)^\top.
Isso nos diz que a primeira coluna de A é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, ou em componentes: A_{11}=1 e A_{21}=A_{31}=0.

Passo 5

Imagem de \mathbf{e}_2. No plano yz a rotação de ângulo \varphi age como a matriz de rotação em 2D aplicada ao par (y,z). Usando a regra da mão direita (rotação positiva), para \mathbf{e}_2=(0,1,0) obtemos
A\mathbf{e}_2=(0,\cos\varphi,\sin\varphi)^\top.
Portanto a segunda coluna de A é \begin{pmatrix}0\\cos\varphi\\sin\varphi\end{pmatrix}, ou em componentes: A_{12}=0, A_{22}=\cos\varphi, A_{32}=\sin\varphi.

Passo 6

Imagem de \mathbf{e}_3. Ainda no plano yz, aplicando a rotação ao vetor \mathbf{e}_3=(0,0,1) obtemos
A\mathbf{e}_3=(0,-\sin\varphi,\cos\varphi)^\top.
Assim a terceira coluna de A é \begin{pmatrix}0\\\ -\sin\varphi\\cos\varphi\end{pmatrix}, ou em componentes: A_{13}=0, A_{23}=-\sin\varphi, A_{33}=\cos\varphi.

Passo 7

Agora juntamos as três colunas obtidas para escrever a matriz inteira. As colunas são, em ordem, A\mathbf{e}_1, A\mathbf{e}_2, A\mathbf{e}_3. Portanto
A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\\\ 0 & \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}.
Vou reforçar o que cada elemento significa: a entrada A_{ij} é o i-ésimo componente do vetor imagem de \mathbf{e}_j.

Passo 8

Para fixar o resultado, podemos listar explicitamente as componentes não nulas:
A_{11}=1,\quad A_{22}=\cos\varphi,\quad A_{23}=-\sin\varphi,\quad A_{32}=\sin\varphi,\quad A_{33}=\cos\varphi,
e todas as outras componentes A_{ij} são zero.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\\\ 0 & \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}

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