Escreva as componentes do tensor
\mathbf{A} correspondentes à rotação de um ângulo
\psi em torno do eixo
y.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever as componentes do tensor \mathbf{A} que representam uma rotação de um ângulo \psi em torno do eixo y.
Informações fornecidas (e convenções assumidas): temos um sistema de coordenadas cartesiano ortonormal com vetores de base padrão \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z. A rotação é a transformação linear que gira vetores em torno do eixo y por um ângulo \psi (convenção padrão de mão direita — rotação positiva segue a regra da mão direita).

Passo 2

Ideia para obter as componentes: um tensor linear (matriz) que representa uma rotação é totalmente determinado pelas imagens dos vetores de base. Se escrevemos a matriz \mathbf{A} na base (\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z), então a j-ésima coluna de \mathbf{A} é as componentes da imagem de \mathbf{e}_j após a rotação. Assim vamos calcular \mathbf{A}\mathbf{e}_x, \mathbf{A}\mathbf{e}_y e \mathbf{A}\mathbf{e}_z.

Passo 3

Imagem de \mathbf{e}_y: como a rotação é em torno do eixo y, o vetor que aponta ao longo de y não muda. Logo
\mathbf{A}\mathbf{e}_y = \mathbf{e}_y,
o que dá a segunda coluna da matriz como (0,\,1,\,0)^\top.

Passo 4

Imagem de \mathbf{e}_x e \mathbf{e}_z: a rotação atua no plano xz. Em coordenadas (x,z) desse plano, uma rotação de ângulo \psi (seguindo a convenção de mão direita) transforma um par (x,z) segundo a regra
\begin{pmatrix} x' \\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\psi & \sin\psi\\[4pt] -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ z \end{pmatrix}.
Explicando: isso significa que a nova componente na direção x é x\cos\psi+z\sin\psi e a nova componente na direção z é -x\sin\psi+z\cos\psi. Aplicando essa transformação aos vetores de base do plano xz:
  • Para \mathbf{e}_x = (1,0,0) (isto é, x=1,z=0) obtemos
\mathbf{A}\mathbf{e}_x = (\cos\psi,\,0,\,-\sin\psi)^\top.
  • Para \mathbf{e}_z = (0,0,1) (isto é, x=0,z=1) obtemos
\mathbf{A}\mathbf{e}_z = (\sin\psi,\,0,\,\cos\psi)^\top.]

Passo 5

Montando a matriz cujas colunas são as imagens de \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z obtém-se
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix}.
Isso nos dá cada componente A_{ij}: por exemplo A_{11}=\cos\psi, A_{13}=\sin\psi, A_{31}=-\sin\psi, A_{22}=1, e os demais zeros conforme a matriz acima.]

Passo 6

Verificação rápida (confirmação intuitiva): a matriz é ortogonal ( \mathbf{A}^{\top}\mathbf{A}=\mathbf{I}) e tem determinante +1, como esperado para uma rotação pura. Isso confirma que a forma obtida está consistente.

Resposta

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix}]

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