Calcule a TL do sinal que consiste na soma de duas exponenciais
x(t)=2 e^-t-3 e^-2 t
Determine a região de convergência (RDC) e um esboço dos possíveis pólos e zeros.

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=2e^-t-3e^-2t
e pede a transformada de Laplace X(s)=Lx(t), a região de convergência (RDC) e o esboço de polos e zeros. Vamos assumir que o sinal é causal (ou seja, vale zero para t<0).

Passo 2

Usamos a propriedade linear da transformada e a fórmula básica
Le^-a t=integral0^inftye^-(s+a)t,dt=1s+a, válida para Re(s)>-a.
Em particular, para o primeiro termo:
L2e^-t =2integral0^inftye^-(s+1)t,dt =2s+1, Re(s)>-1

Passo 3

Para o segundo termo:
L-3e^-2t =-3integral0^inftye^-(s+2)t,dt =-3s+2, Re(s)>-2

Passo 4

Somando os dois resultados, a transformada é
X(s) =2s+1-3s+2
A RDC é a interseção das condições Re(s)>-1 e Re(s)>-2, ou seja
RDC: Re(s)>-1

Passo 5

Os polos de X(s) são as raízes do denominador, isto é
s=-1, s=-2,
e o zero vem do numerador igual a zero:
2(s+2)-3(s+1)=0;Longrightarrow;s=1
No plano complexo, marcamos com “ times” os polos em -1 e -2 no eixo real, com “ circ” o zero em +1, e a RDC é o meio-plano à direita da reta Re(s)=-1.

Resposta

X(s)= 2s+1-3s+2
RDC: Re(s)>-1
Polos em s=-1 e s=-2; zero em s=1.

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