Defina a transformada de Laplace (TL) e sua relação com a transformada de Fourier (TF). Em seguida, calcule ambas TF e TL do sinal x(t)=e^-a t u(t) com a>0, e faça um esboço da a região de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para definir a transformada de Laplace (TL) e sua relação com a transformada de Fourier (TF), e em seguida calcular ambas para o sinal x(t)=e^-a tu(t) com a>0.
Conteúdo necessário: as definições integrais de TF e TL, convergência de integrais impróprias e o conceito de região de convergência (ROC) no plano complexo.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de um sinal x(t) como
Fx(t)=X(jomega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt
Para x(t)=e^-a tu(t) (que vale zero para t<0) temos
X(jomega)=integral0^inftye^-a te^-jomega t,dt =integral0^inftye^-(a+jomega)t,dt =1a+jomega,
desde que Re(a)>0, o que garante decaimento suficiente para a convergência.

Passo 3

Definimos a transformada de Laplace (bilateral) de x(t) como
Lx(t)=X(s)=integral-infty^inftyx(t)e^-s t,dt
Para o mesmo x(t) (que é causal) obtemos
X(s)=integral0^inftye^-a te^-s t,dt =integral0^inftye^-(s+a)t,dt =1s+a,
e essa integral converge se e só se Re(s+a)>0, isto é,
Re(s)>-a

Passo 4

A relação entre TL e TF é que a transformada de Fourier é a transformada de Laplace avaliada em s=jomega, desde que a reta s=jomega esteja dentro da ROC da TL. Neste caso, Re(jomega)=0>-a (pois a>0), logo
X(jomega)=X(s)|s=jomega=1a+jomega

Passo 5

Esboço da região de convergência (ROC) no plano complexo s=sigma+jomega:
Im(s) | | | ROC: Re(s) > -a (meio-plano à direita da linha sigma = -a) | ----+(+)----------------to Re(s) -a à

Resposta

TF: X(jomega)=1a+jomega.
TL: X(s)=1s+a, com ROC Re(s)>-a

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