Defina a transformada de Laplace (TL) e sua relação com a transformada de Fourier (TF). Em seguida, calcule ambas TF e TL do com , e faça um esboço da a região de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para definir a transformada de Laplace (TL) e sua relação com a transformada de Fourier (TF), e em seguida calcular ambas para o sinal com .
Conteúdo necessário: as definições integrais de TF e TL, convergência de integrais impróprias e o conceito de região de convergência (ROC) no plano complexo.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de um sinal como
Para (que vale zero para ) temos
desde que , o que garante decaimento suficiente para a convergência.
Passo 3
Definimos a transformada de Laplace (bilateral) de como
Para o mesmo (que é causal) obtemos
e essa integral converge se e só se , isto é,
Passo 4
A relação entre TL e TF é que a transformada de Fourier é a transformada de Laplace avaliada em , desde que a reta esteja dentro da ROC da TL. Neste caso, (pois ), logo
Passo 5
Esboço da região de convergência (ROC) no plano complexo s=sigma+jomega:
Im(s) | | | ROC: Re(s) > -a (meio-plano à direita da linha sigma = -a) | ----+(+)----------------to Re(s) -a à
Resposta
TF: X(jomega)=1a+jomega.
TL: X(s)=1s+a, com ROC Re(s)>-a