Calcule a TL do sinal que consiste na soma de duas exponenciais
x(t)=e^2 t+3 cos (t)
Determine a região de convergência (RDC) e um esboço dos possíveis pólos e zeros.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de x(t)=e^2t+3cos(t), sua região de convergência (RDC) e um esboço dos polos e zeros. Vamos usar a linearidade da TL, as fórmulas de TL de e^at e de cos(omega0t), e depois determinar onde a soma converge e onde estão os polos e zeros.

Passo 2

Separe o sinal em duas partes e use linearidade:
X(s)=Le^2t+L3cos(t)

Passo 3

Transformada de e^2t: sabemos que
Le^at = 1s - a,Re(s)>a
Aqui a=2, então
X1(s)=1s-2, RDC1:Re(s)>2

Passo 4

Transformada de 3cos(t): como
Lcos(omega0 t) = ss^2+omega0^2,Re(s)>0,
com omega0=1 e fator 3, obtemos
X2(s)=3ss^2+1, RDC2:Re(s)>0

Passo 5

Somando as duas parcelas, a TL total é
X(s)=1s-2+3ss^2+1
A RDC de X(s) é a interseção de Re(s)>2 e Re(s)>0, ou seja
RDC:Re(s)>2

Passo 6

Para encontrar polos e zeros, escrevemos numa única fração:
X(s)=1s-2+3ss^2+1 =s^2+1+3s(s-2)(s-2)(s^2+1) =4s^2-6s+1(s-2)(s-j)(s+j)
Os polos são as raízes do denominador:
s=2, s=+j, s=-j
Os zeros são as raízes do numerador 4s^2-6s+1=0, ou seja
s=6pmraiz36-168=6pm2raiz58 =3pmraiz54
No plano s, marcamos três polos em 2 (eixo real) e em +j,-j (eixo imaginário), e dois zeros em tfrac3-raiz54approx0,19 e tfrac3+raiz54approx1,31 sobre o eixo real.

Resposta

X(s)=1s-2+3ss^2+1, RDC:Re(s)>2
Polos em s=2,pm j; zeros em s=(3pmraiz5)/4.

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