Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d y(t)dt+3 y(t)=6, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dy(t)dt + 3,y(t) = 6, y(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar a propriedade
Ly'(t)(s)=s,Y(s)-y(0)
e tabelas de transformada para inverter depois.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO:
Ly'(t)(s) + 3,Ly(t)(s) = L6(s)
Substituindo y(0)=0 e L6(s)=6/s, fica
s,Y(s) - 0 + 3,Y(s) = 6s Longrightarrow (s+3),Y(s) = 6s

Passo 3

Isolamos Y(s) e fazemos frações parciais:
Y(s) = 6s,(s+3)
Queremos escrever
6s,(s+3) = As + Bs+3
Multiplicando por s(s+3)
6 = A,(s+3) + B,s = (A+B),s + 3A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, 3A = 6 ;Longrightarrow; A=2,; B=-2
Logo
Y(s) = 2s - 2s+3

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1!l2sr(t) = 2, L^-1!l2s+3r(t) = 2,e^-3t
Portanto
y(t) = 2 - 2,e^-3t

Passo 5

Conferimos a condição inicial:
y(0) = 2 - 2,e^0 = 2 - 2 = 0,
que bate com y(0)=0. Está tudo certo.

Resposta

y(t) = 2l(1 - e^-3tr)

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