Calcule todas as soluções inteiras e positivas de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
56 x+72 y=120

Passo 1

O enunciado pede para resolver em inteiros positivos a equação diofantina linear
56x + 72y = 120.
O conteúdo necessário envolve usar o cálculo do máximo divisor comum (mdc), verificar se ele divide o termo independente e, em caso afirmativo, usar o algoritmo de Euclides estendido para obter uma solução particular e depois a solução geral, impondo x>0 e y>0.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum de 56 e 72. Pela fatoração ou pelo algoritmo de Euclides:
\gcd(56,72)=8.
Como 8 divide 120, existem soluções inteiras.

Passo 3

Dividindo toda a equação por 8, obtemos a forma reduzida
7x + 9y = 15.

Passo 4

Para achar uma solução particular de 7x+9y=15, primeiro resolvemos 7u+9v=1. Pelo Euclides estendido encontra-se, por exemplo, u=4, v=-3 pois
7\cdot4 + 9\cdot(-3) = 28 - 27 =1.
Multiplicando por 15 dá uma solução particular de 7x+9y=15:
x_0 = 4 \cdot 15 = 60,\quad y_0 = -3 \cdot 15 = -45.

Passo 5

A solução geral em inteiros é então
x = x_0 + 9t = 60 + 9t,\quad y = y_0 - 7t = -45 - 7t,
para todo t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Impondo x>0 e y>0:
60 + 9t > 0 \implies t > -\tfrac{60}{9} = -\tfrac{20}{3}\implies t\ge -6,
-45 - 7t > 0 \implies -7t > 45 \implies t < -\tfrac{45}{7}\implies t\le -7.
Não há inteiro t que seja simultaneamente \ge -6 e \le -7. Logo, nenhum par (x,y) satisfaz as duas desigualdades.

Resposta

Não existem soluções inteiras e positivas para 56x + 72y = 120.

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