Calcule todas as soluções inteiras e positivas de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em inteiros positivos a equação diofantina linear
O conteúdo necessário envolve usar o cálculo do máximo divisor comum (mdc), verificar se ele divide o termo independente e, em caso afirmativo, usar o algoritmo de Euclides estendido para obter uma solução particular e depois a solução geral, impondo
e
.
Passo 2
Calculemos o máximo divisor comum de
e
. Pela fatoração ou pelo algoritmo de Euclides:
Como
divide
, existem soluções inteiras.
Passo 3
Dividindo toda a equação por
, obtemos a forma reduzida
Passo 4
Para achar uma solução particular de
, primeiro resolvemos
. Pelo Euclides estendido encontra-se, por exemplo,
,
pois
Multiplicando por
dá uma solução particular de
:
Passo 5
A solução geral em inteiros é então
para todo
.
Passo 6
Impondo
e
:
Não há inteiro
que seja simultaneamente
e
. Logo, nenhum par
satisfaz as duas desigualdades.
Resposta
Não existem soluções inteiras e positivas para
.