Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
158 x-57 y=7

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
158x - 57y = 7.
O que precisamos usar é o fato de que uma equação ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c, e que, uma vez existindo solução particular (x_0,y_0), a solução geral é
x = x_0 + \frac{b}{d}\,n,\quad y = y_0 - \frac{a}{d}\,n,\quad n\in\mathbb{Z},
onde d=\gcd(a,b).

Passo 2

Calcular \gcd(158,57) pelo algoritmo de Euclides:
158 = 2\cdot57 + 44,\quad 57 = 1\cdot44 + 13,\quad 44 = 3\cdot13 + 5,\quad 13 = 2\cdot5 + 3,\quad 5 = 1\cdot3 + 2,\quad 3 = 1\cdot2 + 1,
logo \gcd(158,57)=1. Como 1\mid7, a equação tem soluções inteiras.

Passo 3

Para achar uma solução particular, reduzimos a equação módulo 57:
158x \equiv 7 \pmod{57} \quad\Longrightarrow\quad 44x \equiv 7 \pmod{57},
pois 158\equiv44\pmod{57}. Usando o inverso de 44 módulo 57, que é 35 (pois 44\cdot35\equiv1\pmod{57}), obtemos
x \equiv 35\cdot7 = 245 \equiv 17 \pmod{57}.
Logo podemos tomar x_0 = 17.

Passo 4

Substituindo x_0=17 na equação original para obter y_0:
158\cdot17 - 57y = 7 \quad\Longrightarrow\quad 57y = 158\cdot17 - 7 = 2686 - 7 = 2679 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2679}{57} = 47.
Portanto, uma solução particular é (x_0,y_0)=(17,47).

Passo 5

Como \gcd(158,57)=1, a solução geral vem de
x = x_0 + 57\,n = 17 + 57n, \quad y = y_0 + 158\,n = 47 + 158n, \quad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

As soluções inteiras de 158x - 57y = 7 são
\bigl(x,y\bigr) = \bigl(17 + 57n,\;47 + 158n\bigr), \quad n\in\mathbb{Z}.

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