Calcule todas as soluções inteiras e positivas de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
21 x+12 y=72

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras e positivas da equação
21x + 12y = 72.
O conteúdo aqui é resolver uma equação diofantina linear. Para isso vamos precisar (i) calcular o máximo divisor comum \gcd, (ii) verificar se ele divide o termo independente e (iii) usar o algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular e depois obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro calculamos
\gcd(21,12).
Aplicando o algoritmo de Euclides:
21 = 12 \times 1 + 9,\quad 12 = 9 \times 1 + 3,\quad 9 = 3 \times 3 + 0.
Logo
\gcd(21,12) = 3.
Como 3 divide 72, existe solução inteira. Podemos simplificar a equação dividindo tudo por 3:
7x + 4y = 24.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular de
7x + 4y = 24.
O método mais rápido é observar a congruência módulo 4:
7x \equiv 24 \pmod{4} \quad\Longrightarrow\quad 3x \equiv 0 \pmod{4} \quad\Longrightarrow\quad x \equiv 0 \pmod{4}.
Logo escrevemos x = 4k. Substituindo de volta:
7(4k) + 4y = 24 \quad\Longrightarrow\quad 28k + 4y = 24 \quad\Longrightarrow\quad y = 6 - 7k.
Uma solução particular ocorre, por exemplo, para k=0:
(x_0,y_0) = (0,6).

Passo 4

A solução geral em inteiros vem da forma
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t, \qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde a=21, b=12, d=3 e t\in\mathbb{Z}. Como simplificamos para 7x+4y=24, já temos
x = 0 + 4t = 4t, \qquad y = 6 - 7t, \qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Impondo x>0 e y>0:
x = 4t > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > 0,
y = 6 - 7t > 0 \quad\Longrightarrow\quad 7t < 6 \quad\Longrightarrow\quad t \le 0.
Não há inteiro t que satisfaça simultaneamente t>0 e t\le0. Logo não existem soluções em inteiros positivos.

Resposta

Não existem soluções inteiras com x>0 e y>0 para a equação 21x + 12y = 72.

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