Calcule todas as soluções inteiras e positivas de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções inteiras e positivas da equação
O conteúdo aqui é resolver uma equação diofantina linear. Para isso vamos precisar (i) calcular o máximo divisor comum
, (ii) verificar se ele divide o termo independente e (iii) usar o algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular e depois obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro calculamos
Aplicando o algoritmo de Euclides:
Logo
Como
divide
, existe solução inteira. Podemos simplificar a equação dividindo tudo por
:
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular de
O método mais rápido é observar a congruência módulo
:
Logo escrevemos
. Substituindo de volta:
Uma solução particular ocorre, por exemplo, para
:
Passo 4
A solução geral em inteiros vem da forma
onde
,
,
e
. Como simplificamos para
, já temos
Passo 5
Impondo
e
:
Não há inteiro
que satisfaça simultaneamente
e
. Logo não existem soluções em inteiros positivos.
Resposta
Não existem soluções inteiras com
e
para a equação
.