Calcule o trabalho de
F(x, y, z)=-12 x i-12 y j+14 z k
sobre uma partícula que se move ao longo da hélice r(t)=cos t i+ sen t j+t k de (1,0,0) a (-1,0,3 pi).
Solução:
F(x(t), y(t), z(t))=12 cos t i-12 sen t j+14 t k
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l r^prime(t)=-sen t i+cos t j+k integralC F d r=integrala^b F(x(t), y(t), z(t)) cdot r^prime(t) d t
Obs: a integral vai de 0 até 3 pi e a resposta do problema é 3 pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho do campo vetorial F(x,y,z) = -tfrac12 x,i - tfrac12 y,j + tfrac14 z,k ao longo da hélice dada por r(t)=cos t,i+sin t,j+t,k, indo do ponto (1,0,0) ao (-1,0,3pi). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar parametrizar a curva, calcular F(r(t)), r'(t) e depois integrar o produto escalar.

Passo 2

Como a curva já está parametrizada por t, identificamos os limites de integração. Para ir de (1,0,0) a (-1,0,3pi) usamos t=0 a t=3pi. Calculamos a derivada da posição:
$$\mathbf{r}

Passo 3

(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos t,\sin t,t\bigr)=(-\sin t,\cos t,1).$$

Passo 4

Em seguida, avaliamos o campo ao longo da curva:
F(r(t)) = -tfrac12(cos t),i - tfrac12(sin t),j + tfrac14 t,k

Passo 5

Fazendo o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
F(r(t))cdotr'(t) = l(-tfrac12cos tr)(-sin t) + l(-tfrac12sin tr)(cos t) + l(tfrac14 tr)(1) = cos tsin t - sin tcos t2 + t4 = t4

Passo 6

Agora integramos de 0 a 3pi:
integral0^3pi t4,dt = [t^28]0^3pi = (3pi)^28 = 9pi^28

Resposta

9pi^28

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