Calcule rot F e div F para o seguintes campos de vetores.
F(x, y, z)=lang<=ln (x^2+y^2),-2 zx arctan (yx), z raizx^2+y^2rang<=

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o campo vetorial vec F(x,y,z)=llang<= ln(x^2+y^2),,-tfrac2zxarctanl(tfrac yxr),,zraizx^2+y^2rrang<=. O conteúdo aqui é cálculo de divergência e rotacional de um campo em coordenadas cartesianas, e vamos usar as definições padrões:
• divergência divvec F=partialx F1+partialy F2+partialz F3
• rotacional nablatimesvec F=l(partialy F3-partialz F2,;partialz F1-partialx F3,;partialx F2-partialy F1r).

Passo 2

Vamos calcular primeiro a divergência. Precisamos de:
  1. partialx F1=partialxl[ln(x^2+y^2)r]=2xx^2+y^2.
  2. partialy F2=partialyl[-2zxarctanl(tfrac yxr)r]=-2zxcdot11+(y/x)^2cdot1x=-2zx^2+y^2.
  3. partialz F3=partialzl[zraizx^2+y^2r]=raizx^2+y^2.
    Somando essas parcelas obtemos a divergência.

Passo 3

Agora reunindo tudo temos:
$$
\operatorname{div}\vec F=\frac{2x}{x2+y2}-\frac{2z}{x2+y2}+\sqrt{x2+y2}.$$

Passo 4

Para o rotacional, usamos a fórmula em componentes:
nablatimesvec F=l(partialy F3-partialz F2,;partialz F1-partialx F3,;partialx F2-partialy F1r)

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. partialy F3=partialyl[zraizx^2+y^2r]=zyraizx^2+y^2,
    partialz F2=partialzl[-2zxarctantfrac yxr]=-2xarctantfrac yx,
    logo a primeira componente é
partialy F3-partialz F2= zyraizx^2+y^2+2xarctan yx
  1. partialz F1=0,
    partialx F3=partialxl[zraizx^2+y^2r]=zxraizx^2+y^2,
    então a segunda componente é
0 - zxraizx^2+y^2=-zxraizx^2+y^2
  1. partialx F2=partialxl[-2zxarctantfrac yxr]=2z,yx(x^2+y^2)+2zx^2arctan yx,
    partialy F1=2yx^2+y^2,
    então a terceira componente é
2z,yx(x^2+y^2)+2zx^2arctan yx - 2yx^2+y^2

Resposta

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