Considere a série
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1+35^n)
Obtenha o n-ésimo termo de sumn=1^infty 1raizn-1raizn+1 e calcule sua soma. Como essa série é chamada?

Passo 1

A questão pede para estudar a série sumn=1^inftyl(tfrac1raiz n-tfrac1raizn+1r). O conteúdo aqui é série telescópica e precisamos obter o n-ésimo termo da soma parcial ( Sn) e depois calcular o limite limntoinftySn.

Passo 2

Definimos a soma parcial Sn até o termo n:
Sn = sumk=1^nl(1raizk - 1raizk+1r)

Passo 3

Observando cada parcela, vemos cancelamentos do tipo
(tfrac1raiz1-tfrac1raiz2) + (tfrac1raiz2-tfrac1raiz3) + cdots + (tfrac1raiz n-tfrac1raizn+1) = 1 - 1raizn+1
Logo,
Sn = 1 - 1raizn+1

Passo 4

Para encontrar a soma da série, basta tomar o limite quando ntoinfty:
limntoinftySn = limntoinftyl(1 - 1raizn+1r) = 1

Resposta

O n-ésimo termo da soma parcial é Sn = 1 - tfrac1raizn+1. A soma da série é 1. Essa série é chamada de série telescópica.

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