1. Calcule o trabalho feito pelo campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=x^{2} \mathbf{j} ao longo do segmento de reta que vai do ponto (1,1) ao ponto (2,3). Faça o mesmo ao longo do caminho que vai de (1,1) a (2,1) por um segmento horizontal, e depois de (2,1) a ( 2,3 ) por um segmento vertical. O trabalho é o mesmo?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=x^{2}\mathbf{j}
ao longo de dois caminhos de (1,1) a (2,3):
  1. Um único segmento de reta.
  2. Um caminho “quebra-cabeça”: primeiro horizontal até (2,1) e depois vertical até (2,3).
    Para cada caso vamos usar a definição de trabalho como integral de linha:
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
fazendo a parametrização de C, calculando d\mathbf{r} e integrando F\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Caminho 1: segmento de reta de (1,1) a (2,3).
Parametrizamos por t\in[0,1]:
x(t)=1+t,\quad y(t)=1+2t.
Então
d\mathbf{r}=(dx,dy)=(dt,2\,dt),
e
\mathbf{F}(x(t),y(t))=(0,\;(1+t)^{2}).
Logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(1+t)^{2}\cdot2\,dt,
e o trabalho é
W_{1} =\int_{0}^{1}2(1+t)^{2}\,dt =2\int_{0}^{1}(1+2t+t^{2})\,dt =2\Bigl[t + t^{2} + \tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(1+1+\tfrac{1}{3}\Bigr) =\tfrac{14}{3}.

Passo 3

Caminho 2: duas etapas.
  • Segmento horizontal de (1,1) a (2,1): aqui y=1 constante, logo dy=0 e
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=x^{2}\,dy=0 \Rightarrow W_{2a}=0.
  • Segmento vertical de (2,1) a (2,3): agora x=2 constante, dx=0 e dy varia de 1 a 3.
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=x^{2}\,dy=4\,dy,
W_{2b} =\int_{y=1}^{3}4\,dy =4\,(3-1) =8.
Somando as partes,
W_{2}=W_{2a}+W_{2b}=0+8=8.

Passo 4

Comparando os resultados:
W_{1}=\tfrac{14}{3}\approx4{,}67,\quad W_{2}=8.
Como W_{1}\neq W_{2}, o trabalho depende do caminho (o campo não é conservativo).

Resposta

O trabalho ao longo do segmento direto é \tfrac{14}{3},
no caminho “horizonta l+vertical” é 8,
e portanto eles são diferentes.

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