Calcule o trabalho da força
realizado para mover um objeto ao longo da curva
obtida pela interseção da parte da superfície
onde
com o plano
orientada no sentido do decrescimento de
…
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
da força
ao longo da curva
definida pela interseção de
com o plano
orientada no sentido de decrescimento de
. Para resolver, vamos parametrizar
e calcular a integral de linha
.
Passo 2
Como
e
, podemos escolher o parâmetro
. A condição
implica
, ou seja
. O plano diz
. Como
, aumentar
faz
decrescer, logo a orientação é
de
a
. Assim
Passo 3
Calculamos
Em seguida avaliamos
ao longo de
:
O produto interno é
Agrupando termos resulta
Passo 4
O trabalho é
Separando em duas integrais, nota-se que
(pela simetria dos termos ímpares e cálculo direto dos pares) e
.
Logo o valor da integral é .
(pela simetria dos termos ímpares e cálculo direto dos pares) e
Logo o valor da integral é