Calcule o trabalho da força
F(x, y, z)=(y e^2+z, x e^2-23, x y e^2+x)
realizado para mover um objeto ao longo da curva C obtida pela interseção da parte da superfície y=x^2-1 onde y <= 0 com o plano x+z=1 orientada no sentido do decrescimento de z

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
integralCFcdot dr
da força
F(x,y,z)=l(y e^2+z,;x e^2-tfrac23,;x y e^2+xr)
ao longo da curva C definida pela interseção de
y = x^2 - 1, y<=0,
com o plano
x + z = 1,
orientada no sentido de decrescimento de z. Para resolver, vamos parametrizar C e calcular a integral de linha integralCFcdot dr.

Passo 2

Como y=x^2-1 e z=1-x, podemos escolher o parâmetro t=x. A condição y<=0 implica x^2-1<=0, ou seja -1<= t<=1. O plano diz z=1-t. Como dz/dt=-1<0, aumentar t faz z decrescer, logo a orientação é t de -1 a 1. Assim
r(t) = l(t,;t^2-1,;1-tr), tin[-1,1]

Passo 3

Calculamos
r'(t) = (1,;2t,;-1)
Em seguida avaliamos F ao longo de r(t):
F(r(t)) = l((t^2-1)e^2 + (1-t),;t e^2 - tfrac23,;t(t^2-1)e^2 + tr)
O produto interno é
F(r(t))cdotr'(t) = l((t^2-1)e^2 +1-tr)cdot1 + l(t e^2 - tfrac23r)cdot2t - l(t(t^2-1)e^2 + tr)
Agrupando termos resulta
e^2l(-t^3+3t^2+t-1r) ;+; 1 - tfrac103t

Passo 4

O trabalho é
integral-1^1l[e^2(-t^3+3t^2+t-1) + 1 - tfrac103tr],dt
Separando em duas integrais, nota-se que
integral-1^1(-t^3+3t^2+t-1),dt=0
(pela simetria dos termos ímpares e cálculo direto dos pares) e
integral-1^1(1 - tfrac103t),dt = 2.
Logo o valor da integral é 2.

Resposta

2

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