Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números positivos, então inverter os dois lados e inverter o sentido da desigualdade do resultado sempre conduz a uma desigualdade verdadeira (isto é, se
e
e
são positivos, então
).
Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números positivos, então inverter os dois lados e inverter o sentido da desigualdade do resultado sempre conduz a uma desigualdade verdadeira (isto é, se
Passo 1
O enunciado afirma que, para quaisquer
e
positivos tais que
, trocar cada um deles pelo seu inverso e inverter o sinal da desigualdade sempre gera uma desigualdade verdadeira, ou seja, a implicação
O conteúdo aqui é a propriedade de que a função
é estritamente decrescente em
, ou seja, inverte a ordem das desigualdades.
Passo 2
Para justificar de forma algébrica, note que
e
são positivos, então o produto
é também positivo. Começamos com
Como
, ao multiplicar os dois lados por
o sentido da desigualdade se mantém:
Mas
e
, logo
Resposta
Verdadeira.