Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números positivos, então inverter os dois lados e inverter o sentido da desigualdade do resultado sempre conduz a uma desigualdade verdadeira (isto é, se a<b e a e b são positivos, então 1b<1a ).

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer a e b positivos tais que a<b, trocar cada um deles pelo seu inverso e inverter o sinal da desigualdade sempre gera uma desigualdade verdadeira, ou seja, a implicação
a<b, a>0,;b>0 Longrightarrow 1b<1a
O conteúdo aqui é a propriedade de que a função f(x)=1/x é estritamente decrescente em (0,infty), ou seja, inverte a ordem das desigualdades.

Passo 2

Para justificar de forma algébrica, note que a e b são positivos, então o produto ab é também positivo. Começamos com
a<b
Como ab>0, ao multiplicar os dois lados por 1ab o sentido da desigualdade se mantém:
aab<bab
Mas aab=1b e bab=1a, logo
1b<1a

Resposta

Verdadeira.

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