Calcule o trabalho da força \vec{F} quando ele atua sobre um corpo de massa m durante o deslocamento para os seguintes casos:
(0,2) \vec{F}=5 N \cos \theta \hat{x}-5 N \sin \theta \hat{y}+2 N \hat{z}, \vec{d}=5 m \cos \theta \hat{x}-5 m \sin \theta \hat{y}-2 m \hat{z},

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho da força sobre um corpo durante o deslocamento, para os vetores dados.
Informações fornecidas:
\vec{F}=5\\ \mathrm{N}\cos\theta\,\hat{x}-5\\ \mathrm{N}\sin\theta\,\hat{y}+2\\ \mathrm{N}\,\hat{z}
\vec{d}=5\\ \mathrm{m}\cos\theta\,\hat{x}-5\\ \mathrm{m}\sin\theta\,\hat{y}-2\\ \mathrm{m}\,\hat{z}
Pergunta: qual é o trabalho W realizado por \vec{F} ao longo do deslocamento \vec{d}?

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida e prática): o trabalho realizado por uma força constante \vec{F} ao deslocar um corpo por \vec{d} é o produto escalar (dot product) entre \vec{F} e \vec{d}. Fórmula:
W=\vec{F}\cdot\vec{d}.
O produto escalar entre dois vetores escritos em componentes \vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z} e \vec{B}=B_x\hat{x}+B_y\hat{y}+B_z\hat{z} é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Aqui cada termo é o produto das componentes correspondentes; a unidade é Newton·metro, que equivale a Joule.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado: primeiro identifique as componentes de \vec{F} e \vec{d}:
F_x=5\\ \mathrm{N}\cos\theta,\quad F_y=-5\\ \mathrm{N}\sin\theta,\quad F_z=2\\ \mathrm{N},
d_x=5\\ \mathrm{m}\cos\theta,\quad d_y=-5\\ \mathrm{m}\sin\theta,\quad d_z=-2\\ \mathrm{m}.
Agora calcule cada produto componente a componente e some:
W=F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z.

Passo 4

Substituindo as componentes:
W=(5\cos\theta)(5\cos\theta)\\ \mathrm{N\cdot m} + (-5\sin\theta)(-5\sin\theta)\\ \mathrm{N\cdot m} + (2)(-2)\\ \mathrm{N\cdot m}.
Simplificando os coeficientes (sempre lembrando das unidades):
W=25\\ \mathrm{N\cdot m}\cos^2\theta + 25\\ \mathrm{N\cdot m}\sin^2\theta -4\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Use a identidade trigonométrica fundamental \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Assim:
W=25\\ \mathrm{N\cdot m}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-4\\ \mathrm{N\cdot m}=25\\ \mathrm{N\cdot m}\cdot 1 -4\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto
W=21\\ \mathrm{N\cdot m}.
Lembre que 1\\ \mathrm{N\cdot m}=1\\ \mathrm{J}, então o trabalho em Joules é 21\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Comentário didático final (útil para a prova): note que o valor do trabalho não depende de \theta porque os termos com \cos\theta e \sin\theta se combinam via \cos^2\theta+\sin^2\theta. Também a massa m mencionada no enunciado não entra no cálculo do trabalho aqui (trabalho depende de força e deslocamento, não diretamente da massa).

Resposta

21 J

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