- Um objeto se encontra a 15 cm de uma lente positiva cuja distancia focal é 15 cm . Uma segunda lente positiva com 15 cm de distancia focal é colocada a 20 cm da primeira lente. Determine a posição da imagem final e desenhe um diagrama de raios.
Passo 1
Enunciado e dados (resumidos, bem claro o que se pede):
- Um objeto está a
da primeira lente (à esquerda dela). - A primeira lente é positiva (convergente) com distância focal
. - A segunda lente é também positiva com distância focal
e está colocada a à direita da primeira lente (distância entre lentes = ). - O que se pede: determinar a posição da imagem final formada pelo sistema de duas lentes e desenhar (ou descrever detalhadamente) o diagrama de raios correspondente.
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar (a “ferramenta” do exame) e a convenção de sinais que aplicarei:
- Fórmula da lente delgada (thin lens):
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente), -
é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto for real e estiver à esquerda da lente, no sentido usual luz indo da esquerda para a direita), -
é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem for real e estiver à direita da lente). - Interpretação prática importante: se
(ou seja, ), significa que os raios saem paralelos após a lente — a lente transforma o ponto objeto em raios paralelos (imagem no infinito).
Vou usar essa convenção padrão (luz esquerda→direita, objetos reais à esquerda têm
, imagens reais à direita têm
).
Passo 3
Aplicando a fórmula à primeira lente:
Dados para a primeira lente:
Usamos
Substituindo:
Isolando
:
Logo
Explicação didática: como
, o objeto está exatamente no foco da primeira lente; neste caso a lente produz raios emergentes paralelos (imagem formal no infinito). Isso é uma situação clássica: objeto no foco → imagem no infinito.
Passo 4
O que isso significa para a segunda lente (propagação entre lentes):
- A primeira lente envia raios paralelos para a direita (porque sua imagem está no infinito).
- Esses raios paralelos atingem a segunda lente. Um conjunto de raios paralelos que incide numa lente convergente forma sua imagem no foco da lente.
Portanto, a segunda lente “vê” um objeto efetivamente na infinidade (objeto em
), isto é:
Passo 5
Aplicando a fórmula à segunda lente com
:
Dados:
Fórmula:
Como
, temos
Daí
Interpretação: a segunda lente forma uma imagem real a
à direita dela, porque os raios eram paralelos ao chegar e a lente convergiu-os em seu foco.
Passo 6
Posição absoluta da imagem final em relação à primeira lente e ao objeto:
- A segunda lente está a
à direita da primeira lente. - A imagem final está a
à direita da segunda lente.
Portanto, medindo a posição da imagem final a partir da primeira lente (para a direita):
à direita da primeira lente.
Se quiser medir a posição em relação ao objeto (que está 15 cm à esquerda da primeira lente), então a distância objeto→imagem é
mas normalmente reportamos a posição relativa a uma das lentes; então a resposta natural é: imagem final a
à direita da segunda lente (ou
à direita da primeira lente).
Passo 7
Como desenhar o diagrama de raios (instruções passo a passo para você reproduzir no caderno — faça isso devagar e com calma):
- Desenhe o eixo óptico horizontal (linha reta).
- Marque a primeira lente (L1) e, à sua direita, a segunda lente (L2) a
de distância. Marque também os focos de cada lente: - Para L1: marque
a à direita de L1 (e o simétrico foco à esquerda se quiser). - Para L2: marque
a à direita de L2.
- Para L1: marque
- Coloque o objeto sobre o eixo, à esquerda de L1, a
de L1 (ou seja, exatamente em ). Desenhe-o como uma seta vertical. - Traçar raios a partir da extremidade superior da seta-objeto:
- Raio A: do topo do objeto em direção ao centro da primeira lente (aprox. passando pelo centro dela). Para lentes delgadas esse raio continua praticamente sem desvio; como o objeto está no foco, esse raio depois da lente segue para a direita praticamente paralelo ao eixo.
- Raio B: do topo do objeto passando pela primeira lente de tal modo que, se você estendesse o raio depois da lente, veria que ele é paralelo ao eixo (na prática, escolha um raio que incida e emergirá paralelo). O importante conceptual: todos os raios que saem de um ponto no foco emergem paralelos.
- Observe que após L1 os dois raios que você desenhou seguem paralelos para a direita e atingem L2.
- Na L2 esses raios paralelos convergem e se cruzam no plano focal direito de L2, isto é, a
à direita de L2. Marque aí a interseção e desenhe a seta-imagem (orientação: como são raios que se cruzam do lado direito, a imagem é real e invertida verticalmente em relação ao objeto). - Conclua: a imagem final está em
, 15 cm à direita de L2. Se quiser, acrescente mais raios (por exemplo um raio que entra L2 paralelo ao eixo e sai passando pelo foco de L2) para reforçar a construção — mas os dois raios paralelos e o raio que passa pelo centro são suficientes para localizar a imagem.
Dica prática: no seu desenho com escala, coloque L1 em x=0, L2 em x=20 cm, objeto em x=-15 cm; você verá os raios paralelos entre x=0 e x=20 e o encontro em x=35 cm.
Passo 8
Observações finais e intuição (animadora): quando o objeto está no foco da primeira lente, a primeira lente “transforma” o ponto em feixe paralelo; a segunda lente simplesmente foca esse feixe paralelo novamente no seu foco. É um padrão muito comum em óptica (telescópios refratores usam essa ideia). Então, apesar de parecer complicado ter duas lentes, a conta ficou simples graças à propriedade “objeto no foco → imagem no infinito”.
Resposta
A imagem final está a
à direita da segunda lente.
Isto corresponde a à direita da primeira lente (ou a
à direita do objeto).
Isto corresponde a