1. Um objeto se encontra a 15 cm de uma lente positiva cuja distancia focal é 15 cm . Uma segunda lente positiva com 15 cm de distancia focal é colocada a 20 cm da primeira lente. Determine a posição da imagem final e desenhe um diagrama de raios.

Passo 1

Enunciado e dados (resumidos, bem claro o que se pede):
  • Um objeto está a \,15\\ \text{cm}\, da primeira lente (à esquerda dela).
  • A primeira lente é positiva (convergente) com distância focal \,f_1=15\\ \text{cm}\,.
  • A segunda lente é também positiva com distância focal \,f_2=15\\ \text{cm}\, e está colocada a \,20\\ \text{cm}\, à direita da primeira lente (distância entre lentes = \,20\\ \text{cm}\,).
  • O que se pede: determinar a posição da imagem final formada pelo sistema de duas lentes e desenhar (ou descrever detalhadamente) o diagrama de raios correspondente.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (a “ferramenta” do exame) e a convenção de sinais que aplicarei:
  • Fórmula da lente delgada (thin lens):
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
onde:
  • \,f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente),
  • \,s é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto for real e estiver à esquerda da lente, no sentido usual luz indo da esquerda para a direita),
  • \,s' é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem for real e estiver à direita da lente).
  • Interpretação prática importante: se \,s'=+\infty (ou seja, \,1/s'=0), significa que os raios saem paralelos após a lente — a lente transforma o ponto objeto em raios paralelos (imagem no infinito).
Vou usar essa convenção padrão (luz esquerda→direita, objetos reais à esquerda têm s>0, imagens reais à direita têm s'>0).

Passo 3

Aplicando a fórmula à primeira lente:
Dados para a primeira lente:
f_1=15\\ \text{cm},\qquad s_1=15\\ \text{cm}.
Usamos
\frac{1}{f_1}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_1'}.
Substituindo:
\frac{1}{15}=\frac{1}{15}+\frac{1}{s_1'}.
Isolando \,1/s_1':
\frac{1}{s_1'}=\frac{1}{15}-\frac{1}{15}=0.
Logo
s_1'=\infty.
Explicação didática: como \,s_1=f_1, o objeto está exatamente no foco da primeira lente; neste caso a lente produz raios emergentes paralelos (imagem formal no infinito). Isso é uma situação clássica: objeto no foco → imagem no infinito.

Passo 4

O que isso significa para a segunda lente (propagação entre lentes):
  • A primeira lente envia raios paralelos para a direita (porque sua imagem está no infinito).
  • Esses raios paralelos atingem a segunda lente. Um conjunto de raios paralelos que incide numa lente convergente forma sua imagem no foco da lente.
Portanto, a segunda lente “vê” um objeto efetivamente na infinidade (objeto em \infty), isto é:
s_2=\infty.

Passo 5

Aplicando a fórmula à segunda lente com \,s_2=\infty:
Dados:
f_2=15\\ \text{cm},\qquad s_2=\infty.
Fórmula:
\frac{1}{f_2}=\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_2'}.
Como \,1/s_2=0, temos
\frac{1}{s_2'}=\frac{1}{f_2}=\frac{1}{15}.
Daí
s_2' = 15\\ \text{cm}.
Interpretação: a segunda lente forma uma imagem real a \,15\\ \text{cm} à direita dela, porque os raios eram paralelos ao chegar e a lente convergiu-os em seu foco.

Passo 6

Posição absoluta da imagem final em relação à primeira lente e ao objeto:
  • A segunda lente está a \,20\\ \text{cm}\, à direita da primeira lente.
  • A imagem final está a \,15\\ \text{cm}\, à direita da segunda lente.
Portanto, medindo a posição da imagem final a partir da primeira lente (para a direita):
\text{posição relativa à primeira lente} = 20\\ \text{cm} + 15\\ \text{cm} = 35\\ \text{cm}çãà
à direita da primeira lente.
Se quiser medir a posição em relação ao objeto (que está 15 cm à esquerda da primeira lente), então a distância objeto→imagem é
15\\ \text{cm} + 35\\ \text{cm} = 50\\ \text{cm},
mas normalmente reportamos a posição relativa a uma das lentes; então a resposta natural é: imagem final a \,15\\ \text{cm} à direita da segunda lente (ou \,35\\ \text{cm} à direita da primeira lente).

Passo 7

Como desenhar o diagrama de raios (instruções passo a passo para você reproduzir no caderno — faça isso devagar e com calma):
  1. Desenhe o eixo óptico horizontal (linha reta).
  2. Marque a primeira lente (L1) e, à sua direita, a segunda lente (L2) a \,20\\ \text{cm}\, de distância. Marque também os focos de cada lente:
    • Para L1: marque F_1 a \,15\\ \text{cm}\, à direita de L1 (e o simétrico foco à esquerda se quiser).
    • Para L2: marque F_2 a \,15\\ \text{cm}\, à direita de L2.
  3. Coloque o objeto sobre o eixo, à esquerda de L1, a \,15\\ \text{cm} de L1 (ou seja, exatamente em F_1). Desenhe-o como uma seta vertical.
  4. Traçar raios a partir da extremidade superior da seta-objeto:
    • Raio A: do topo do objeto em direção ao centro da primeira lente (aprox. passando pelo centro dela). Para lentes delgadas esse raio continua praticamente sem desvio; como o objeto está no foco, esse raio depois da lente segue para a direita praticamente paralelo ao eixo.
    • Raio B: do topo do objeto passando pela primeira lente de tal modo que, se você estendesse o raio depois da lente, veria que ele é paralelo ao eixo (na prática, escolha um raio que incida e emergirá paralelo). O importante conceptual: todos os raios que saem de um ponto no foco emergem paralelos.
  5. Observe que após L1 os dois raios que você desenhou seguem paralelos para a direita e atingem L2.
  6. Na L2 esses raios paralelos convergem e se cruzam no plano focal direito de L2, isto é, a \,15\\ \text{cm} à direita de L2. Marque aí a interseção e desenhe a seta-imagem (orientação: como são raios que se cruzam do lado direito, a imagem é real e invertida verticalmente em relação ao objeto).
  7. Conclua: a imagem final está em F_2, 15 cm à direita de L2. Se quiser, acrescente mais raios (por exemplo um raio que entra L2 paralelo ao eixo e sai passando pelo foco de L2) para reforçar a construção — mas os dois raios paralelos e o raio que passa pelo centro são suficientes para localizar a imagem.
Dica prática: no seu desenho com escala, coloque L1 em x=0, L2 em x=20 cm, objeto em x=-15 cm; você verá os raios paralelos entre x=0 e x=20 e o encontro em x=35 cm.

Passo 8

Observações finais e intuição (animadora): quando o objeto está no foco da primeira lente, a primeira lente “transforma” o ponto em feixe paralelo; a segunda lente simplesmente foca esse feixe paralelo novamente no seu foco. É um padrão muito comum em óptica (telescópios refratores usam essa ideia). Então, apesar de parecer complicado ter duas lentes, a conta ficou simples graças à propriedade “objeto no foco → imagem no infinito”.

Resposta

A imagem final está a 15\\ \text{cm} à direita da segunda lente.
Isto corresponde a 35\\ \text{cm} à direita da primeira lente (ou a 50\\ \text{cm} à direita do objeto).

Exercícios relacionados