1. As lentes delgadas especificadas a seguir são feitas de um vidro cujo índice de refração é 1,5 . Faça um desenho de cada lente e determine a distancia focal no ar:
    a) biconvexa, r_{1}=+10 e r_{2}=-21 \mathrm{~cm}
    b) plano-convexa, r_{1}=\infty e r_{2}=-10 \mathrm{~cm}
    c) bicôncava, r_{1}=-10 \mathrm{~cm} e r_{2}=+10 \mathrm{~cm}
    d) plano-côncava, r_{1}=\infty e r_{2}=+20 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe cada lente e determine a distância focal no ar para quatro casos. Informações fornecidas:
\text{índice do vidro: } n=1,5í
a) lente biconvexa com \;r_{1}=+10\\ \mathrm{cm}\; e \;r_{2}=-21\\ \mathrm{cm}.\n
b) lente plano-convexa com \;r_{1}=\infty\; e \;r_{2}=-10\\ \mathrm{cm}.\n
c) lente bicôncava com \;r_{1}=-10\\ \mathrm{cm}\; e \;r_{2}=+10\\ \mathrm{cm}.\n
d) lente plano-côncava com \;r_{1}=\infty\; e \;r_{2}=+20\\ \mathrm{cm}.\n

Passo 2

Vamos entender a fórmula que usamos (é a ferramenta principal do problema). Para lentes delgadas em ar, usamos a fórmula das superfícies esféricas (fórmula do fabricante de lentes, “lensmaker”):
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Expliquei cada termo:
f
é a distância focal da lente (em cm); n
é o índice de refração do material da lente (aqui 1,5); r_{1}
é o raio de curvatura da primeira superfície (a superfície pela qual a luz entra, assumimos luz vindo da esquerda para a direita); r_{2}
é o raio de curvatura da segunda superfície (saída da luz). Sobre sinais dos raios: por convenção aqui eu uso a convenção usual em óptica geométrica (para luz esquerda→direita): um raio r é positivo se o centro de curvatura da superfície estiver à direita da superfície, e negativo se o centro de curvatura estiver à esquerda. Essa convenção já está alinhada com os sinais dados no enunciado. Também note que quando f>0 a lente é convergente (convexa equivalente) e quando f<0 é divergente (côncava equivalente).

Passo 3

Faço o cálculo geral com (n-1)=1,5-1=0,5. Vou aplicar a fórmula caso a caso. Primeiro calculo todos os recíprocos que aparecerão e faço a conta passo a passo, mostrando como checar mentalmente na prova.
a) Para \;r_{1}=+10\\ \mathrm{cm} e \;r_{2}=-21\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{10}=0{,}1,\qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{-21}=-\frac{1}{21}\approx -0{,}047619.
Agora a diferença:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=0{,}1-(-\tfrac{1}{21})=0{,}1+\tfrac{1}{21}=\frac{31}{210}.
Multiplico por (n-1)=0{,}5:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot\frac{31}{210}=\frac{31}{420}.
Inverto para obter f:
f=\frac{420}{31}\\ \mathrm{cm}\approx 13{,}55\\ \mathrm{cm}.
Interpretação rápida: f>0 → lente converge; faz sentido para uma biconvexa com curvaturas como dadas.

Passo 4

b) Para \;r_{1}=\infty (superfície plana) e \;r_{2}=-10\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{r_{1}}=0,\qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{-10}=-0{,}1.
Diferença:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=0-(-0{,}1)=0{,}1.
Multiplicando por (n-1)=0{,}5:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}05=\frac{1}{20}.
Logo
f=20\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: f>0 → plano-convexa atua como convergente; isso é esperado.

Passo 5

c) Para \;r_{1}=-10\\ \mathrm{cm} e \;r_{2}=+10\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{-10}=-0{,}1,\qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Diferença:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=-0{,}1-0{,}1=-0{,}2.
Multiplicando por (n-1)=0{,}5:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot(-0{,}2)=-0{,}1.
Logo
f=-10\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: f<0 → lente divergente (bicôncava), coerente com os sinais e formas simétricas.

Passo 6

d) Para \;r_{1}=\infty e \;r_{2}=+20\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{r_{1}}=0,\qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{20}=0{,}05.
Diferença:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=0-0{,}05=-0{,}05.
Multiplicando por (n-1)=0{,}5:
\frac{1}{f}=0{,}5\cdot(-0{,}05)=-0{,}025=-\frac{1}{40}.
Logo
f=-40\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: f<0 → plano-côncava é divergente, como esperado.

Passo 7

Desenhos (descrição simples para você rabiscar na prova):
  • a) Biconvexa: desenhe o eixo horizontal; desenhe duas superfícies curvas voltadas para fora (uma curva à direita e outra à esquerda), centro de curvatura da primeira superfície à direita ( r_{1}>0), da segunda à esquerda ( r_{2}<0). Marca r_{1}=+10\\ \mathrm{cm} e r_{2}=-21\\ \mathrm{cm}.
  • b) Plano-convexa: desenhe uma face plana à esquerda e uma face convexa à direita; r_{1}=\infty na face plana, r_{2}=-10\\ \mathrm{cm} para a superfície esférica.
  • c) Bicôncava: desenhe duas curvaturas voltadas para dentro (forma de ampulheta invertida), com r_{1}=-10\\ \mathrm{cm} e r_{2}=+10\\ \mathrm{cm} (simétricas, resultando em lente divergente).
  • d) Plano-côncava: desenhe face plana à esquerda e face côncava à direita; r_{1}=\infty, r_{2}=+20\\ \mathrm{cm}.
Dica rápida de prova: antes de calcular, veja os sinais de r_{1} e r_{2}. Se a combinação der 1/f>0 é convergente; se der 1/f<0 é divergente. Também guarde que (n-1)=0{,}5 aqui simplifica muitos cálculos.

Resposta

(a) f=\dfrac{420}{31}\\ \mathrm{cm}\approx 13{,}55\\ \mathrm{cm}\n
(b) f=20\\ \mathrm{cm}\n
(c) f=-10\\ \mathrm{cm}\n
(d) f=-40\\ \mathrm{cm}

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