Calcule o trabalho realizado pela força bidimensional
sobre o caminho dado parametricamente por
e
ligando a origem ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pela força bidimensional
ao longo do caminho dado por
e
que liga a origem ao ponto
. Informações e objetivos claramente listados:
- Força (campo vetorial):
. - Curva paramétrica:
, . - Começo da curva: origem, que corresponde a
(pois ). - Fim da curva: ponto
. Verifica-se que e , logo o parâmetro final é . - Pergunta: calcular o trabalho
realizado por ao longo dessa curva, ou seja, calcular o integral de linha ao longo do caminho parametrizado por .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por , com variando de a , é dado por
- Aqui
é a derivada da posição em relação a , isto é . - O produto escalar (dot product) entre dois vetores
e é
- No nosso caso,
e porque a parametrização vai de (origem) até (ponto ). Vamos aplicar a fórmula acima substituindo e .
Passo 3
Calcular
:
- Como
, tem-se . - Como
, tem-se .
Logo
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva, isto é
:
- Primeiro componente:
. - Segunda componente:
.
Portanto
Passo 5
Formar o produto escalar
:
(Explicando: multiplicou-se componente a componente e somou-se, seguindo a definição do produto escalar.)
Passo 6
Agora calculamos o integral do escalar obtido de
até
:
Integramos termo a termo:
-
-
Somando:
Passo 7
Comentário rápido (didático e prático): o resultado
é o trabalho ao longo dessa curva específica. Se alguém perguntar se dá para usar um potencial escalar (ou seja, se o campo é conservativo) para simplificar, verifica-se que
como essas derivadas parciais não coincidem (a menos que
pontualmente), o campo não é conservativo em geral, então o trabalho realmente depende do caminho — por isso a parametrização importa. Bom trabalho — você conseguiu chegar até aqui!