Calcule o trabalho realizado pela força bidimensional \vec{F}=\left(x^{2}, 2 x y\right) sobre o caminho dado parametricamente por x=t^{3} e y=t^{2} ligando a origem ao ponto P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pela força bidimensional \vec{F}=(x^{2},2xy) ao longo do caminho dado por x=t^{3} e y=t^{2} que liga a origem ao ponto P=(1,1). Informações e objetivos claramente listados:
  • Força (campo vetorial): \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,2xy\bigr).
  • Curva paramétrica: x(t)=t^{3}, y(t)=t^{2}.
  • Começo da curva: origem, que corresponde a t=0 (pois x(0)=0,y(0)=0).
  • Fim da curva: ponto P=(1,1). Verifica-se que x(1)=1^{3}=1 e y(1)=1^{2}=1, logo o parâmetro final é t=1.
  • Pergunta: calcular o trabalho W realizado por \vec{F} ao longo dessa curva, ou seja, calcular o integral de linha \displaystyle W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo do caminho parametrizado por t\in[0,1].

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O trabalho realizado por um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva C parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a a b, é dado por
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
  • Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada da posição em relação a t, isto é \vec{r}\,'(t)=\bigl(\tfrac{dx}{dt},\tfrac{dy}{dt}\bigr).
  • O produto escalar (dot product) entre dois vetores \bigl(A_1,A_2\bigr) e \bigl(B_1,B_2\bigr) é
\bigl(A_1,A_2\bigr)\cdot\bigl(B_1,B_2\bigr)=A_1B_1+A_2B_2.
  • No nosso caso, a=0 e b=1 porque a parametrização vai de t=0 (origem) até t=1 (ponto P). Vamos aplicar a fórmula acima substituindo x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t):
  • Como x(t)=t^{3}, tem-se \tfrac{dx}{dt}=3t^{2}.
  • Como y(t)=t^{2}, tem-se \tfrac{dy}{dt}=2t.
    Logo
\vec{r}\,'(t)=\bigl(3t^{2},\,2t\bigr).

Passo 4

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva, isto é \vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr):
  • Primeiro componente: x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
  • Segunda componente: 2xy=2\cdot t^{3}\cdot t^{2}=2t^{5}.
    Portanto
\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t^{6},\,2t^{5}\bigr).

Passo 5

Formar o produto escalar \vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) = t^{6}\cdot 3t^{2} + 2t^{5}\cdot 2t = 3t^{8}+4t^{6}.
(Explicando: multiplicou-se componente a componente e somou-se, seguindo a definição do produto escalar.)

Passo 6

Agora calculamos o integral do escalar obtido de t=0 até t=1:
W=\int_{0}^{1}\bigl(3t^{8}+4t^{6}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int_{0}^{1}3t^{8}\,dt = 3\cdot\left[\frac{t^{9}}{9}\right]_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}4t^{6}\,dt = 4\cdot\left[\frac{t^{7}}{7}\right]_{0}^{1}=4\cdot\frac{1}{7}=\frac{4}{7}.
    Somando:
W=\frac{1}{3}+\frac{4}{7}=\frac{7}{21}+\frac{12}{21}=\frac{19}{21}.

Passo 7

Comentário rápido (didático e prático): o resultado \dfrac{19}{21} é o trabalho ao longo dessa curva específica. Se alguém perguntar se dá para usar um potencial escalar (ou seja, se o campo é conservativo) para simplificar, verifica-se que
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr)=2y,
como essas derivadas parciais não coincidem (a menos que y=0 pontualmente), o campo não é conservativo em geral, então o trabalho realmente depende do caminho — por isso a parametrização importa. Bom trabalho — você conseguiu chegar até aqui!

Resposta

\displaystyle \frac{19}{21}

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