Um raio de luz se propaga no ar e atinge um meio x . Para um ângulo de incidência de 30^{\circ}, o ângulo de refração correspondente é de 60^{\circ}. Qual é o índice de refração do meio x ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Um raio de luz vem do ar e entra no meio x.
  • Ângulo de incidência: \theta_{\text{i}} = 30^\circ.
  • Ângulo de refração no meio x: \theta_{\text{r}} = 60^\circ.
    O que se pede: calcular o índice de refração do meio x, denotado por n_x.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática):
  • O índice de refração n de um meio é definido por n = \dfrac{c}{v}, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz no meio. Esse índice é uma grandeza adimensional (sem unidades).
  • Ao passar de um meio para outro a direção do raio muda segundo a Lei de Snell, que relaciona índices e ângulos:
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2.
Aqui:
  • n_1 é o índice do meio de onde vem a luz,
  • n_2 é o índice do meio para onde a luz vai,
  • \theta_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal,
  • \theta_2 é o ângulo de refração medido em relação à normal.
  • No nosso caso, o meio 1 é o ar. É prática comum aproximar o índice do ar por n_{\text{ar}} \approx 1 (valor muito próximo de 1 para condições usuais).

Passo 3

Aplicando a Lei de Snell ao caso (definindo n_1 = n_{\text{ar}}, \theta_1=\theta_{\text{i}}, n_2=n_x, \theta_2=\theta_{\text{r}}):
n_{\text{ar}}\sin\theta_{\text{i}} = n_x\sin\theta_{\text{r}}.
Isolando n_x:
n_x = n_{\text{ar}}\frac{\sin\theta_{\text{i}}}{\sin\theta_{\text{r}}}.
Agora substituímos os valores numéricos. Tomando n_{\text{ar}}=1, \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
n_x = 1\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Converter para valor decimal e comentar:
\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577350269\ldots
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
n_x \approx 0,577.
Observação física rápida (para contexto): esse resultado é menor que 1, o que indica que, com a aproximação n_{\text{ar}}=1, o meio x é menos refringente que o ar (índice menor). Em óptica usual de materiais transparentes isso é incomum, mas matematicamente é o que a relação ângulos indica; o cálculo está correto seguindo Snell.

Passo 5

Checagem final rápida:
  • Todas as etapas usaram a Lei de Snell e valores exatos de seno para ângulos notáveis ( 30^\circ e 60^\circ), sem arredondamentos intermediários, portanto o resultado \dfrac{1}{\sqrt{3}} é exato; a forma decimal acima é apenas aproximação.

Resposta

n_x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577

Exercícios relacionados