Calcule o trabalho total realizado pelo sistema em um ciclo completo onde o fluido de trabalho (gás ideal) segue o ciclo: (Resposta
- Expansão Isobárica
: De
para
a uma pressão constante de 300 Pa .
- Resfriamento Isocórico
: O volume permanece em
enquanto a pressão cai de 300 Pa para 100 Pa .
- Compressão Linear
: O gás retorna ao estado inicial através de uma trajetória retilínea no diagrama p vs V.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o trabalho total realizado pelo sistema ao completar o ciclo fechado formado pelas três transformações dadas.
Informações fornecidas (pegar exatamente do enunciado):
- Expansão isobárica
: , , pressão constante . - Resfriamento isocórico
: volume constante , pressão cai de para . - Compressão linear
: trajetória retilínea no diagrama versus ligando o ponto (com ) ao ponto (com ).
Resumo dos pontos no espaço
-
:
- Ponto 1:
. - Ponto 2:
. - Ponto 3:
.
Passo 2
Conceito e fórmula geral que usaremos (aula curta):
- Trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é dado pela integral da pressão em função do volume:
onde
é o trabalho total no ciclo (positivo se o gás realiza trabalho sobre o meio, ou seja, se a área do ciclo indica trabalho útil).
- Quando o processo é dividido em trechos, o trabalho total é soma dos trabalhos em cada trecho:
Explicação das variáveis:
é a pressão (em pascal),
é o volume (em metros cúbicos),
é o diferencial de volume. Em um trecho isobárico,
é constante e a integral vira
. Em um trecho isocórico,
logo o trabalho é zero. Em um trecho com
variando linearmente com
, a integral pode ser calculada encontrando a função linear
ou usando a média aritmética das pressões (trapezoide).
Passo 3
Cálculo do trabalho no trecho isobárico
:
- Fórmula para processo isobárico:
- Substituindo os valores (pegos do enunciado):
- Resultado:
Observação rápida: aqui usamos que
.
Passo 4
Cálculo do trabalho no trecho isocórico
:
- Em um processo isocórico o volume não muda, logo
e
- Aplicando aos dados: como
, temos .
Passo 5
Cálculo do trabalho no trecho retilíneo
(compressão):
- Precisamos integrar
. Como a trajetória é retilínea em vs , a pressão varia linearmente entre os dois pontos. Duas formas equivalentes fáceis: (a) determinar e integrar, ou (b) notar que a área sob a reta entre e é a área de um trapézio, isto é, a média das pressões vezes . Vou usar a forma do trapézio (mais direta). - Pressões nos extremos (peguei do enunciado):
em e em . - Área (módulo do trabalho realizado pelo gás ao expandir de
a ) é
- Calcule a média das pressões e o produto:
- Atenção ao sentido: o trecho do ciclo é
, isto é, o volume diminui de para . O trabalho realizado pelo gás nesse trecho é
Interpretação: durante a compressão o gás recebe trabalho (trabalho negativo do ponto de vista do gás).
Passo 6
Somando os trabalhos dos três trechos:
Breve interpretação final e encorajamento: o resultado positivo
significa que, no ciclo completo, o gás realizou trabalho líquido de
sobre o ambiente — isso é a área do laço no diagrama
-
. Mandou bem por chegar até aqui; tudo que fizemos foi aplicar a ideia simples: trabalho = área sob a curva, e tratar cada trecho com a fórmula adequada.