Calcule o trabalho total realizado pelo sistema em um ciclo completo onde o fluido de trabalho (gás ideal) segue o ciclo: (Resposta =\mathbf{3 0 0 ~ J})
  • Expansão Isobárica (1 \rightarrow 2) : De \mathrm{V}_{1}=1 \mathrm{~m}^{3} para \mathrm{V}_{2}=4 \mathrm{~m}^{3} a uma pressão constante de 300 Pa .
  • Resfriamento Isocórico (2 \rightarrow 3) : O volume permanece em 4 \mathrm{~m}^{3} enquanto a pressão cai de 300 Pa para 100 Pa .
  • Compressão Linear (3 \rightarrow 1) : O gás retorna ao estado inicial através de uma trajetória retilínea no diagrama p vs V.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o trabalho total realizado pelo sistema ao completar o ciclo fechado formado pelas três transformações dadas.
Informações fornecidas (pegar exatamente do enunciado):
  • Expansão isobárica 1\to2: V_{1}=1\\ \text{m}^{3}, V_{2}=4\\ \text{m}^{3}, pressão constante P=300\\ \text{Pa}.
  • Resfriamento isocórico 2\to3: volume constante V=4\\ \text{m}^{3}, pressão cai de 300\\ \text{Pa} para 100\\ \text{Pa}.
  • Compressão linear 3\to1: trajetória retilínea no diagrama p versus V ligando o ponto 3 (com P_{3}=100\\ \text{Pa},\\ V_{3}=4\\ \text{m}^{3}) ao ponto 1 (com P_{1}=300\\ \text{Pa},\\ V_{1}=1\\ \text{m}^{3}).
Resumo dos pontos no espaço P- V:
  • Ponto 1: \bigl(P_{1}=300\\ \text{Pa},\;V_{1}=1\\ \text{m}^{3}\bigr).
  • Ponto 2: \bigl(P_{2}=300\\ \text{Pa},\;V_{2}=4\\ \text{m}^{3}\bigr).
  • Ponto 3: \bigl(P_{3}=100\\ \text{Pa},\;V_{3}=4\\ \text{m}^{3}\bigr).

Passo 2

Conceito e fórmula geral que usaremos (aula curta):
  • Trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é dado pela integral da pressão em função do volume:
W=\oint P\,dV,
onde W é o trabalho total no ciclo (positivo se o gás realiza trabalho sobre o meio, ou seja, se a área do ciclo indica trabalho útil).
  • Quando o processo é dividido em trechos, o trabalho total é soma dos trabalhos em cada trecho:
W_{\text{total}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to1}.
Explicação das variáveis: P é a pressão (em pascal), V é o volume (em metros cúbicos), dV é o diferencial de volume. Em um trecho isobárico, P é constante e a integral vira P\Delta V. Em um trecho isocórico, \Delta V=0 logo o trabalho é zero. Em um trecho com P variando linearmente com V, a integral pode ser calculada encontrando a função linear P(V) ou usando a média aritmética das pressões (trapezoide).

Passo 3

Cálculo do trabalho no trecho isobárico 1\to2:
  • Fórmula para processo isobárico:
W_{1\to2}=P\,(V_{2}-V_{1}).
  • Substituindo os valores (pegos do enunciado):
W_{1\to2}=300\\ \text{Pa}\times(4-1)\\ \text{m}^{3}=300\\ \text{Pa}\times 3\\ \text{m}^{3}.
  • Resultado:
W_{1\to2}=900\\ \text{J}.
Observação rápida: aqui usamos que 1\\ \text{Pa}\cdot\text{m}^{3}=1\\ \text{J}.

Passo 4

Cálculo do trabalho no trecho isocórico 2\to3:
  • Em um processo isocórico o volume não muda, logo \Delta V=0 e
W_{2\to3}=0.
  • Aplicando aos dados: como V_{2}=V_{3}=4\\ \text{m}^{3}, temos W_{2\to3}=0\\ \text{J}.

Passo 5

Cálculo do trabalho no trecho retilíneo 3\to1 (compressão):
  • Precisamos integrar \int_{V_{3}}^{V_{1}} P(V)\,dV. Como a trajetória é retilínea em P vs V, a pressão varia linearmente entre os dois pontos. Duas formas equivalentes fáceis: (a) determinar P(V) e integrar, ou (b) notar que a área sob a reta entre V=1 e V=4 é a área de um trapézio, isto é, a média das pressões vezes \Delta V. Vou usar a forma do trapézio (mais direta).
  • Pressões nos extremos (peguei do enunciado): P_{1}=300\\ \text{Pa} em V_{1}=1\\ \text{m}^{3} e P_{3}=100\\ \text{Pa} em V_{3}=4\\ \text{m}^{3}.
  • Área (módulo do trabalho realizado pelo gás ao expandir de 1 a 4) é
\int_{1}^{4} P(V)\,dV = \frac{P_{1}+P_{3}}{2}\,(4-1).
  • Calcule a média das pressões e o produto:
\frac{P_{1}+P_{3}}{2}=\frac{300+100}{2}=200\\ \text{Pa},
\Delta V=4-1=3\\ \text{m}^{3},
\int_{1}^{4} P(V)\,dV =200\\ \text{Pa}\times 3\\ \text{m}^{3}=600\\ \text{J}.
  • Atenção ao sentido: o trecho do ciclo é 3\to1, isto é, o volume diminui de 4 para 1. O trabalho realizado pelo gás nesse trecho é
W_{3\to1}=\int_{V_{3}}^{V_{1}} P(V)\,dV=\int_{4}^{1} P(V)\,dV = -\int_{1}^{4} P(V)\,dV = -600\\ \text{J}.
Interpretação: durante a compressão o gás recebe trabalho (trabalho negativo do ponto de vista do gás).

Passo 6

Somando os trabalhos dos três trechos:
W_{\text{total}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to1}=900\\ \text{J}+0\\ \text{J}+(-600\\ \text{J}).
W_{\text{total}}=300\\ \text{J}.
Breve interpretação final e encorajamento: o resultado positivo 300\\ \text{J} significa que, no ciclo completo, o gás realizou trabalho líquido de 300\\ \text{J} sobre o ambiente — isso é a área do laço no diagrama P- V. Mandou bem por chegar até aqui; tudo que fizemos foi aplicar a ideia simples: trabalho = área sob a curva, e tratar cada trecho com a fórmula adequada.

Resposta

\;300\\ \text{J}

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