Um gás ideal percorre um ciclo ABCD . O estado A possui coordenadas \left(2 \mathrm{~m}^{3}, 400 \mathrm{~Pa}\right). O gás é aquecido isobaricamente até o estado \mathrm{B}\left(5 \mathrm{~m}^{3}, 400 \mathrm{~Pa}\right), depois resfriado isocoricamente até o estado \mathrm{C}\left(5 \mathrm{~m}^{3}, 100 \mathrm{~Pa}\right), seguido por uma compressão isobárica até o estado \mathrm{D}\left(2 \mathrm{~m}^{3}, 100 \mathrm{~Pa}\right) e, finalmente, retorna ao estado A por um aquecimento isocórico. Pede-se:
a) Esboce o gráfico p vs V.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás em cada etapa ( \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD} e DA ). ( Resposta = \mathbf{A B}=\mathbf{1 2 0 0 ~ J} ; \mathbf{B C}=\mathbf{0 ~ J} ; \mathbf{C D}=\mathbf{- 3 0 0 ~ J} ; \mathbf{D A}=\mathbf{0 ~ J})
c) Determine o trabalho líquido do ciclo. ( Resposta =\mathbf{9 0 0 ~ J})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores do enunciado).
  • Estados (volume, pressão):
    • A: \left(2\\ \mathrm{m}^3,\\\ 400\\ \mathrm{Pa}\right)
    • B: \left(5\\ \mathrm{m}^3,\\\ 400\\ \mathrm{Pa}\right)
    • C: \left(5\\ \mathrm{m}^3,\\\ 100\\ \mathrm{Pa}\right)
    • D: \left(2\\ \mathrm{m}^3,\\\ 100\\ \mathrm{Pa}\right)
  • Processos no ciclo ABCD:
    • A\to B: aquecimento isobárico (pressão constante em \,400\\ \mathrm{Pa}\,).
    • B\to C: resfriamento isocórico (volume constante em \,5\\ \mathrm{m}^3\,).
    • C\to D: compressão isobárica (pressão constante em \,100\\ \mathrm{Pa}\,).
    • D\to A: aquecimento isocórico (volume constante em \,2\\ \mathrm{m}^3\,).
      O enunciado pede:
      a) Esboçar o gráfico p versus V.
      b) Calcular o trabalho realizado pelo gás em cada etapa: AB,\\ BC,\\ CD,\\ DA.
      c) Determinar o trabalho líquido do ciclo.

Passo 2

Como esboçar o gráfico p versus V (instruções passo a passo, bem simples para fazer à mão):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal V (volume) e eixo vertical p (pressão). Indique unidades \mathrm{m}^3 e \mathrm{Pa}.
  • Marque os volumes V=2\\ \mathrm{m}^3 e V=5\\ \mathrm{m}^3 no eixo V.
  • Marque as pressões p=100\\ \mathrm{Pa} e p=400\\ \mathrm{Pa} no eixo p.
  • Coloque os pontos:
    • A em \left(2,400\right),
    • B em \left(5,400\right),
    • C em \left(5,100\right),
    • D em \left(2,100\right).
  • Ligue A até B por uma linha horizontal (isobárico a 400\\ \mathrm{Pa}), B até C por uma linha vertical (isocórico V=5), C até D por uma linha horizontal (isobárico a 100\\ \mathrm{Pa}), e D até A por uma linha vertical (isocórico V=2).
  • O contorno forma um retângulo no diagrama p V. O sentido do ciclo é A→B→C→D→A.

Passo 3

Fórmula geral do trabalho em processos quasistáticos e convenção de sinais (aula rápida):
  • Trabalho realizado pelo gás quando o volume varia entre \,V_i e \,V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Interpretação geométrica: em um diagrama p vs V, o trabalho realizado pelo gás é a área sob a curva p(V) entre V_i e V_f; se a área estiver à direita (expansão), W>0; se a variação de volume for uma compressão ( V_f<V_i), então W<0.
  • Para processos isobáricos (pressão constante P) a integral simplifica para
W = P\,(V_f-V_i).
Aqui P é a pressão constante do processo, V_i o volume inicial e V_f o volume final; unidade de W é joule porque 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{J}.
  • Para processos isocóricos (volume constante) temos dV=0 e portanto
W=0.

Passo 4

Calcular o trabalho em A\to B (isobárico a \,400\\ \mathrm{Pa}):
  • Dados: P_{AB}=400\\ \mathrm{Pa}, V_A=2\\ \mathrm{m}^3, V_B=5\\ \mathrm{m}^3.
  • Usando W=P\,(V_f-V_i):
W_{AB}=400\\ \mathrm{Pa}\times(5-2)\\ \mathrm{m}^3.
  • Calcule:
W_{AB}=400\times 3 = 1200\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: W_{AB}=1200\\ \mathrm{J} positivo, ou seja, o gás realiza 1200\\ \mathrm{J} de trabalho enquanto se expande de 2 para 5\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular o trabalho em B\to C (isocórico em V=5\\ \mathrm{m}^3):
  • Em isocórico dV=0, logo
W_{BC}=0.
  • Interpretação: não há trabalho de expansão/compressão porque o volume não muda, mesmo que a pressão varie de 400\\ \mathrm{Pa} para 100\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular o trabalho em C\to D (isobárico a \,100\\ \mathrm{Pa}, compressão de 5 para 2\\ \mathrm{m}^3):
  • Dados: P_{CD}=100\\ \mathrm{Pa}, V_C=5\\ \mathrm{m}^3, V_D=2\\ \mathrm{m}^3.
  • Usando W=P\,(V_f-V_i):
W_{CD}=100\\ \mathrm{Pa}\times(2-5)\\ \mathrm{m}^3.
  • Calcule:
W_{CD}=100\times(-3)=-300\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: trabalho negativo significa que, nessa etapa, o trabalho é feito sobre o gás (compressão) e o gás realiza -300\\ \mathrm{J} (ou seja, recebe 300\\ \mathrm{J} do ambiente em forma de trabalho).

Passo 7

Calcular o trabalho em D\to A (isocórico em V=2\\ \mathrm{m}^3):
  • Isocórico \Rightarrow dV=0, portanto
W_{DA}=0.

Passo 8

Calcular o trabalho líquido do ciclo (soma algébrica dos trabalhos em cada trecho) e interpretar como área do retângulo:
  • Soma dos trabalhos:
W_{\text{líquido}}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA}.í
  • Substituindo os valores encontrados:
W_{\text{líquido}}=1200 + 0 + (-300) + 0 = 900\\ \mathrm{J}.í
  • Interpretação geométrica: no diagrama p V, o trabalho líquido por ciclo é a área do laço fechado percorrido no sentido A→B→C→D→A. Aqui isso corresponde à área do retângulo com base \Delta V=5-2=3\\ \mathrm{m}^3 e altura \Delta p=400-100=300\\ \mathrm{Pa}, cuja área é 3\times 300=900\\ \mathrm{J}, consistente com a soma algébrica.

Resposta

a) Gráfico p vs V: retângulo com vértices em \left(2,400\right),\\ \left(5,400\right),\\ \left(5,100\right),\\ \left(2,100\right); ligar A→B (horizontal p=400), B→C (vertical V=5), C→D (horizontal p=100), D→A (vertical V=2).
b) W_{AB}=1200\\ \mathrm{J}
W_{BC}=0\\ \mathrm{J}
W_{CD}=-300\\ \mathrm{J}
W_{DA}=0\\ \mathrm{J}
c) W_{\text{líquido}}=900\\ \mathrm{J}í

Exercícios relacionados