Calcule a transf. de Fourier dos seguintes sinais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformar de Fourier! O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier do sinal definido por partes:
Então, vamos precisar entender o que é Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de um sinal $ x(t) $ é uma função $ X(\omega) $ que nos mostra como as diferentes frequências estão presentes no sinal. A fórmula para calcular a Transformada de Fourier é:
Onde:
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ j $ é a unidade imaginária,
- $ e^{-j \omega t} $ é o núcleo da transformada.
Passo 3
Agora, observando o nosso sinal $ x(t) $, ele é definido por três partes diferentes:
- $ x(t) = 0 $ para $ t < -\frac{1}{2} $
- $ x(t) = t + \frac{1}{2} $ para $ -\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2} $
- $ x(t) = 1 $ para $ t > \frac{1}{2} $
Como a Transformada de Fourier envolve integrar $ x(t) $ de $ -\infty $ a $ \infty $, podemos dividir essa integral nas três regiões onde o sinal é definido de forma diferente.
Passo 4
Vamos dividir a Transformada de Fourier em três integrais correspondentes às três partes do $ x(t) $:
Simplificando, já que o primeiro termo é multiplicado por zero:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Para resolver isso, podemos separar a integral:
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Isso requer integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = e^{-j \omega t} dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = \frac{e^{-j \omega t}}{-j \omega} $.
Aplicando integração por partes:
Avaliando de $ -\frac{1}{2} $ a $ \frac{1}{2} $, e simplificando.
Segunda parte:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa é uma integral exponencial simples. A solução é:
Para $ t \to \infty $, $ e^{-j \omega t} $ oscila, mas assumimos que a integral converge para zero nesse limite (usando a condição de convergência de Fourier). Então:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Substituindo $ I_1 $ e $ I_2 $ com as expressões encontradas anteriormente, e simplificando os termos, observamos que estamos lidando com funções que envolvem senos e cossenos devido a $ e^{-j \omega t} $. Após simplificações, podemos usar identidades trigonométricas para expressar a Transformada de Fourier em termos de funções $ sinc $ e termos racionais.
Resposta
Após realizar os cálculos, a Transformada de Fourier do sinal $ x(t) $ é dada por: