Calcule a transf. de Fourier dos seguintes sinais
x(t)=lr0, & t<-12 t+12, & -12 <= t <= 12 1, & t>12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformar de Fourier! O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier do sinal definido por partes:
x(t) = 0, & t < -12 t + 12, & -12 <= t <= 12 1, & t > 12
Então, vamos precisar entender o que é Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de um sinal $ x(t) $ é uma função $ X(\omega) $ que nos mostra como as diferentes frequências estão presentes no sinal. A fórmula para calcular a Transformada de Fourier é:
x(t)
Onde:
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ j $ é a unidade imaginária,
  • $ e^{-j \omega t} $ é o núcleo da transformada.

Passo 3

Agora, observando o nosso sinal $ x(t) $, ele é definido por três partes diferentes:
  1. $ x(t) = 0 $ para $ t < -\frac{1}{2} $
  2. $ x(t) = t + \frac{1}{2} $ para $ -\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2} $
  3. $ x(t) = 1 $ para $ t > \frac{1}{2} $
Como a Transformada de Fourier envolve integrar $ x(t) $ de $ -\infty $ a $ \infty $, podemos dividir essa integral nas três regiões onde o sinal é definido de forma diferente.

Passo 4

Vamos dividir a Transformada de Fourier em três integrais correspondentes às três partes do $ x(t) $:
x(t)
Simplificando, já que o primeiro termo é multiplicado por zero:
X(omega) = integral-infty^-1/2 0 cdot e^-j omega t dt + integral-1/2^1/2 (t + 12) e^-j omega t dt + integral1/2^infty 1 cdot e^-j omega t dt

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
I1 = integral-1/2^1/2 (t + 12) e^-j omega t dt
Para resolver isso, podemos separar a integral:
I1 = integral-1/2^1/2 t cdot e^-j omega t dt + 12 integral-1/2^1/2 e^-j omega t dt
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
integral t cdot e^-j omega t dt
Isso requer integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = e^{-j \omega t} dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = \frac{e^{-j \omega t}}{-j \omega} $.
Aplicando integração por partes:
u = t
Avaliando de $ -\frac{1}{2} $ a $ \frac{1}{2} $, e simplificando.
Segunda parte:
dv = e^-j omega t dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
I2 = integral1/2^infty e^-j omega t dt
Essa é uma integral exponencial simples. A solução é:
I2 = e^-j omega t-j omega gr|1/2^infty
Para $ t \to \infty $, $ e^{-j \omega t} $ oscila, mas assumimos que a integral converge para zero nesse limite (usando a condição de convergência de Fourier). Então:
t to infty

Passo 7

Agora, juntando tudo:
X(omega) = I1 + I2
Substituindo $ I_1 $ e $ I_2 $ com as expressões encontradas anteriormente, e simplificando os termos, observamos que estamos lidando com funções que envolvem senos e cossenos devido a $ e^{-j \omega t} $. Após simplificações, podemos usar identidades trigonométricas para expressar a Transformada de Fourier em termos de funções $ sinc $ e termos racionais.

Resposta

Após realizar os cálculos, a Transformada de Fourier do sinal $ x(t) $ é dada por:
x(t)

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