Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
x(t)=tri(tT) cdot rect(tT+T2) cdot e^j 2 pi 13 T t

Passo 1

Então, galera! A gente tem que encontrar a transformada de Fourier de um sinal meio complicado:
x(t) = tri(tT) cdot rect(tT + T2) cdot e^j 2 pi 13 T t
O conteúdo aqui é de Transformada de Fourier, que ajuda a transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar conhecer as transformadas das funções triângulo (tri), retângulo (rect) e como lidar com sinais multiplicados por exponenciais complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte do sinal. A função tri(tT) é uma função triangular com largura proporcional a T. A função rect(tT + T2) é uma função retangular que está deslocada no tempo. E o termo e^j 2 pi 13 T t é uma exponencial complexa que vai modular o sinal.

Passo 3

Vamos por partes. Primeiro, vamos achar a transformada de Fourier da função triangular:
Ftri(tT) = T cdot sinc^2(pi T f)
Aqui usamos que a transformada da função triângulo é o quadrado da função sinc, escalada por T.

Passo 4

Agora, vamos para a função retangular deslocada:
Frect(tT + T2) = e^-j 2 pi f cdot (-T^22) cdot T cdot sinc( pi T f )
Usamos a propriedade de deslocamento no tempo, que adiciona uma fase exponencial na frequência.

Passo 5

Finalmente, temos o termo exponencial e^j 2 pi 13 T t. A transformada de Fourier dessa exponencial é uma delta de Dirac deslocada na frequência:
Fe^j 2 pi 13 T t = de

Passo 6

Agora, juntando tudo. A transformada de Fourier do produto de funções no tempo corresponde à convolução das suas transformadas no domínio da frequência. Então:
X(f) = [ T cdot sinc^2(pi T f) ] * [ T cdot e^j pi T^2 f cdot sinc( pi T f ) ] * de
Convoluir com a delta de Dirac simplesmente desloca a função resultante para a frequência 13 T.

Resposta

A transformada de Fourier do sinal dado é:
X(f) = T^2 cdot sinc^2(pi T (f - 13 T)) cdot sinc(pi T (f - 13 T)) cdot e^j pi T^2 (f - 13 T)

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