Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
Passo 1
Então, galera! A gente tem que encontrar a transformada de Fourier de um sinal meio complicado:
O conteúdo aqui é de Transformada de Fourier, que ajuda a transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar conhecer as transformadas das funções triângulo (tri), retângulo (rect) e como lidar com sinais multiplicados por exponenciais complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte do sinal. A função
é uma função triangular com largura proporcional a T. A função
é uma função retangular que está deslocada no tempo. E o termo
é uma exponencial complexa que vai modular o sinal.
Passo 3
Vamos por partes. Primeiro, vamos achar a transformada de Fourier da função triangular:
Aqui usamos que a transformada da função triângulo é o quadrado da função sinc, escalada por T.
Passo 4
Agora, vamos para a função retangular deslocada:
Usamos a propriedade de deslocamento no tempo, que adiciona uma fase exponencial na frequência.
Passo 5
Finalmente, temos o termo exponencial
. A transformada de Fourier dessa exponencial é uma delta de Dirac deslocada na frequência:
Passo 6
Agora, juntando tudo. A transformada de Fourier do produto de funções no tempo corresponde à convolução das suas transformadas no domínio da frequência. Então:
Convoluir com a delta de Dirac simplesmente desloca a função resultante para a frequência
.
Resposta
A transformada de Fourier do sinal dado é: