Avalie a transformada de Fourier da onda senoidal amortecida
onde
é a função degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a transformada de Fourier da onda senoidal amortecida $ g(t) = e^{-t} \sin\left(2 \pi f_{c} t\right) u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Fourier, sinais senoidais amortecidos e a função degrau unitário $ u(t) $. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Fourier e algumas fórmulas conhecidas para funções exponenciais e senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ g(t) $ é dada por:
No nosso caso, como $ g(t) = 0 $ para $ t < 0 $ devido ao degrau unitário $ u(t) $, a integral fica de 0 a $ +\infty $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos usar a identidade para a função seno em termos de exponenciais:
Aplicando isso na nossa função:
Substituindo na transformada:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Sabemos que:
Aplicando isso às integrais:
Passo 6
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por $ 1 + j2\pi (f - f_{c}) $ e $ 1 - j2\pi (f + f_{c}) $ respectivamente, mas vamos deixar a expressão nessa forma para facilitar a interpretação.
Resposta
A transformada de Fourier da onda senoidal amortecida $ g(t) = e^{-t} \sin\left(2 \pi f_{c} t\right) u(t) $ é: