Avalie a transformada de Fourier da onda senoidal amortecida
g(t)=e^-t sen(2 pi fc t) u(t)
onde u(t) é a função degrau unitário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a transformada de Fourier da onda senoidal amortecida $ g(t) = e^{-t} \sin\left(2 \pi f_{c} t\right) u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Fourier, sinais senoidais amortecidos e a função degrau unitário $ u(t) $. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Fourier e algumas fórmulas conhecidas para funções exponenciais e senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ g(t) $ é dada por:
g(t)
No nosso caso, como $ g(t) = 0 $ para $ t < 0 $ devido ao degrau unitário $ u(t) $, a integral fica de 0 a $ +\infty $:
G(f) = integral-infty^+infty g(t) e^-j2pi f t dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos usar a identidade para a função seno em termos de exponenciais:
sin(a t) = e^jat - e^-jat2j
Aplicando isso na nossa função:
sin(2 pi fc t) = e^j2pi fc t - e^-j2pi fc t2j
Substituindo na transformada:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
G(f) = 12j [ integral0^+infty e^-t e^j2pi fc t e^-j2pi f t dt - integral0^+infty e^-t e^-j2pi fc t e^-j2pi f t dt ]
Simplificando os expoentes:
G(f) = 12j [ integral0^+infty e^-t + j2pi (fc - f)t dt - integral0^+infty e^-t - j2pi (fc + f)t dt ]

Passo 5

Sabemos que:
integral0^+infty e^-(a - jb)t dt = 1a - jb
Aplicando isso às integrais:
G(f) = 12j [ 11 - j2pi (f - fc) - 11 + j2pi (f + fc) ]

Passo 6

Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por $ 1 + j2\pi (f - f_{c}) $ e $ 1 - j2\pi (f + f_{c}) $ respectivamente, mas vamos deixar a expressão nessa forma para facilitar a interpretação.

Resposta

A transformada de Fourier da onda senoidal amortecida $ g(t) = e^{-t} \sin\left(2 \pi f_{c} t\right) u(t) $ é:
g(t) = e^-t sin(2 pi fc t) u(t)

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