Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
d) f(x)=\left\{\begin{array}{cl}e^{x} & \text { se } x<0, \\\\ 0 & \text { se } x>0 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Fourier da função f\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} e^{x}, & \text{se } x<0,\\[4pt] 0, & \text{se } x>0, \end{cases}
com a>0\] (nota: aqui a constante \(a não aparece explicitamente na definição dada). A tarefa é encontrar \mathcal{F}\{f\}(\omega) para todo \omega\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Vou usar a convenção usual (frequente em análise e aplicações) para a transformada de Fourier:
onde \omega é a frequência angular (um número real) e i é a unidade imaginária (i^2=-1). Essa fórmula significa: multiplica-se f(x) por e^{-i\omega x} e integra-se sobre toda a reta real.
Passo 3
Primeiro simplificar a integral usando a definição de f. Como f(x)=0 para x>0, a integral sobre (0,\infty) é zero; então
Portanto a transformada existe e podemos calcular a integral diretamente.
Passo 4
Calcular a integral explícita. A primitiva de e^{(1 - i\omega)x} em x é \dfrac{e^{(1 - i\omega)x}}{1 - i\omega} (porque a derivada de e^{(1 - i\omega)x} é (1 - i\omega)e^{(1 - i\omega)x}). Assim