1. Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
d) f(x)=\left\{\begin{array}{cl}e^{x} & \text { se } x<0, \\\\ 0 & \text { se } x>0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Fourier da função f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} e^{x}, & \text{se } x<0,\\[4pt] 0, & \text{se } x>0, \end{cases}
com a>0\] (nota: aqui a constante \(a não aparece explicitamente na definição dada). A tarefa é encontrar \mathcal{F}\{f\}(\omega) para todo \omega\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Vou usar a convenção usual (frequente em análise e aplicações) para a transformada de Fourier:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde \omega é a frequência angular (um número real) e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Essa fórmula significa: multiplica-se f(x) por e^{-i\omega x} e integra-se sobre toda a reta real.

Passo 3

Primeiro simplificar a integral usando a definição de f. Como f(x)=0 para x>0, a integral sobre (0,\infty) é zero; então
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,e^{-i\omega x}\,dx.
Juntando as exponenciais:
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,e^{-i\omega x}\,dx=\int_{-\infty}^{0} e^{(1 - i\omega)x}\,dx.
Antes de integrar, verifico a convergência absoluta: |e^{(1 - i\omega)x}|=e^{x} porque |e^{-i\omega x}|=1. Então
\int_{-\infty}^{0} |e^{(1 - i\omega)x}|\,dx=\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx,
e essa integral é finita:
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx=\bigl[e^{x}\bigr]_{-\infty}^{0}=1.
Portanto a transformada existe e podemos calcular a integral diretamente.

Passo 4

Calcular a integral explícita. A primitiva de e^{(1 - i\omega)x} em x é \dfrac{e^{(1 - i\omega)x}}{1 - i\omega} (porque a derivada de e^{(1 - i\omega)x} é (1 - i\omega)e^{(1 - i\omega)x}). Assim
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\left.\frac{e^{(1 - i\omega)x}}{1 - i\omega}\right|_{x=-\infty}^{x=0}.
Avalio nos limites: para x=0 obtemos \dfrac{e^{0}}{1 - i\omega}=\dfrac{1}{1 - i\omega}. Para x\to -\infty, como \Re(1 - i\omega)=1>0, temos e^{(1 - i\omega)x}\to 0. Portanto
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\frac{1}{1 - i\omega}.

Passo 5

É útil também apresentar a forma com denominador real, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1 + i\omega:
\frac{1}{1 - i\omega}=\frac{1+i\omega}{(1 - i\omega)(1 + i\omega)}=\frac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}.
Assim a parte real e a parte imaginária da transformada ficam explícitas:
\Re\bigl(\mathcal{F}\{f\}(\omega)\bigr)=\frac{1}{1+\omega^{2}},\qquad \Im\bigl(\mathcal{F}\{f\}(\omega)\bigr)=\frac{\omega}{1+\omega^{2}}.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\frac{1}{1 - i\omega}=\frac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}.

Exercícios relacionados