- Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Fourier. Vou usar a convenção padrão
Observações iniciais que vêm do enunciado:
- A função tem suporte em
(ou seja, é zero fora desse intervalo). - A função é real e par (mesmo):
. - A constante
mencionada no enunciado geral não aparece explicitamente nesta parte (a função é ), então não será usada aqui.]
Passo 2
Reduzir a integral da transformada ao suporte de
. Como
fora de
,
Isto já simplifica bastante: a integral é apenas sobre
.
Passo 3
Usar a paridade de
para simplificar a integral. Como
é par e real, vale a identidade
Explicação rápida e intuitiva: os termos
e
se combinam como
quando a função multiplicadora é par.
Passo 4
Calcular
. Uma maneira limpa é usar exponencial complexa e tomar a parte real. Note que
portanto
A integral exponencial é direta:
Logo
Passo 5
Converter a parte real para uma forma real explícita. Escreva
O denominador é
com módulo
. Para
a parte real é
Calcule
. Se
com
e
, então
Substituindo
e
,
Portanto
Passo 6
Voltar à transformada completa usando o fator
do Passo 3:
Comentário final curto: a transformada é real e par em
, como esperado para uma função real e par. Como verificação rápida, em
obtemos
, que é
, conforme deveria ser.