1. Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
c) f(x)=\left\{\begin{array}{cl}e^{-|x|} & \text { se }|x|<1, \\\\ 0 & \text { se }|x|>1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}e^{-|x|},&\text{se }|x|<1,\\[4pt]0,&\text{se }|x|>1.\end{cases}
e pede para calcular a transformada de Fourier. Vou usar a convenção padrão
\mathcal{F}\{f\}(\xi)=\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\xi x}\,dx.
Observações iniciais que vêm do enunciado:
  • A função tem suporte em [-1,1] (ou seja, é zero fora desse intervalo).
  • A função é real e par (mesmo): f(-x)=f(x).
  • A constante a>0 mencionada no enunciado geral não aparece explicitamente nesta parte (a função é e^{-|x|}), então não será usada aqui.]

Passo 2

Reduzir a integral da transformada ao suporte de f. Como f(x)=0 fora de [-1,1],
\widehat f(\xi)=\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,e^{-i\xi x}\,dx.
Isto já simplifica bastante: a integral é apenas sobre [-1,1].

Passo 3

Usar a paridade de f para simplificar a integral. Como f é par e real, vale a identidade
\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,e^{-i\xi x}\,dx = \int_{-1}^{1} e^{-|x|}\cos(\xi x)\,dx = 2\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx.
Explicação rápida e intuitiva: os termos e^{-i\xi x} e e^{-i\xi(-x)}=e^{i\xi x} se combinam como 2\cos(\xi x) quando a função multiplicadora é par.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx. Uma maneira limpa é usar exponencial complexa e tomar a parte real. Note que
\cos(\xi x)=\Re\big(e^{i\xi x}\big),
portanto
\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx = \Re\!\left(\int_{0}^{1} e^{-x}e^{i\xi x}\,dx\right) = \Re\!\left(\int_{0}^{1} e^{(-1+i\xi)x}\,dx\right).
A integral exponencial é direta:
\int_{0}^{1} e^{(-1+i\xi)x}\,dx = \left[\frac{e^{(-1+i\xi)x}}{-1+i\xi}\right]_{0}^{1} = \frac{e^{-1+i\xi}-1}{-1+i\xi}.
Logo
\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx = \Re\!\left(\frac{e^{-1+i\xi}-1}{-1+i\xi}\right).

Passo 5

Converter a parte real para uma forma real explícita. Escreva
A:=e^{-1+i\xi}-1 = (e^{-1}\cos\xi-1) + i\,e^{-1}\sin\xi.
O denominador é -1+i\xi com módulo |-1+i\xi|^2=1+\xi^2. Para A/(-1+i\xi) a parte real é
\Re\!\left(\frac{A}{-1+i\xi}\right) = \frac{\Re\!\big(A(-1-i\xi)\big)}{1+\xi^2}.
Calcule A(-1-i\xi). Se A=a+ib com a=e^{-1}\cos\xi-1 e b=e^{-1}\sin\xi, então
\Re\!\big(A(-1-i\xi)\big) = -a + \xi b.
Substituindo a e b,
-a+\xi b = -\big(e^{-1}\cos\xi-1\big) + \xi\,e^{-1}\sin\xi = 1 - e^{-1}\cos\xi + e^{-1}\xi\sin\xi.
Portanto
\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx = \frac{1 - e^{-1}\cos\xi + e^{-1}\xi\sin\xi}{1+\xi^2}.

Passo 6

Voltar à transformada completa usando o fator 2 do Passo 3:
\widehat f(\xi)=2\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(\xi x)\,dx = \frac{2}{1+\xi^2}\Big(1 - e^{-1}\cos\xi + e^{-1}\xi\sin\xi\Big).
Comentário final curto: a transformada é real e par em \xi, como esperado para uma função real e par. Como verificação rápida, em \xi=0 obtemos \widehat f(0)=2(1-e^{-1}), que é \int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,dx, conforme deveria ser.

Resposta

\widehat f(\xi)=\frac{2}{1+\xi^2}\Big(1 - e^{-1}\cos\xi + e^{-1}\xi\sin\xi\Big).

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