1. Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
b) f(x)=e^{-|x|}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Temos a função f dada por f(x)=e^{-|x|}.
  • O objetivo é calcular a transformada de Fourier de f, isto é o integral
\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde \omega é a frequência real. (Vou usar essa convenção usual de transformada sem fatores 2\pi.)
  • Observação: o enunciado geral mencionou a>0 em problemas parecidos; para a função dada aqui o parâmetro a vale 1 (porque e^{-|x|}=e^{-1\cdot|x|}). Mais adiante mostro a forma para um a>0 genérico por didática.

Passo 2

Propriedade útil: f é uma função par (even). Explico por que isso facilita.
  • Dizer que f é par significa f(-x)=f(x) para todo x. No nosso caso f(-x)=e^{-| -x|}=e^{-|x|}=f(x).
  • Para uma função par, a transformada de Fourier com a convenção escolhida satisfaz
\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx
porque a parte em seno (imaginária) é ímpar e se anula.
  • Portanto podemos escrever, aproveitando a paridade,
\widehat f(\omega)=2\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx.
Isto reduz o problema a calcular uma integral real em [0,\infty).

Passo 3

Aplicando ao nosso f(x)=e^{-|x|} (para x\ge0 isso é e^{-x}):
  • Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
\widehat f(\omega)=2\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(\omega x)\,dx.
  • Antes de calcular, comento rapidamente sobre convergência: a presença do fator e^{-x} garante decaimento exponencial, então a integral converge absolutamente para todo \omega.

Passo 4

Cálculo da integral \displaystyle I(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(\omega x)\,dx. Vou mostrar duas maneiras, escolho a que é mais direta.
Método via exponencial complexa (mais sistemático):
  • Use \cos(\omega x)=\Re\big(e^{i\omega x}\big). Assim
I(\omega)=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x} e^{i\omega x}\,dx\right) =\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(1 - i\omega)x}\,dx\right).
  • A integral geométrica é imediata porque \Re(1 - i\omega)=1>0, logo
\int_{0}^{\infty} e^{-(1 - i\omega)x}\,dx=\left[-\frac{1}{1 - i\omega}e^{-(1 - i\omega)x}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{1 - i\omega}.
  • Tomando a parte real:
I(\omega)=\Re\!\left(\frac{1}{1 - i\omega}\right).
  • Calcule a parte real escrevendo o conjugado: \dfrac{1}{1 - i\omega}=\dfrac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}. Assim
I(\omega)=\Re\!\left(\frac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}\right)=\frac{1}{1+\omega^{2}}.
Resultado: \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(\omega x)\,dx=\frac{1}{1+\omega^{2}}.

Passo 5

Voltando à transformada (lembrar do fator 2 do passo 2):
\widehat f(\omega)=2\,I(\omega)=2\cdot\frac{1}{1+\omega^{2}}=\frac{2}{1+\omega^{2}}.
Comentário didático e generalização:
  • Se em vez de e^{-|x|} tivéssemos g(x)=e^{-a|x|} com a>0, o mesmo cálculo dá
\widehat g(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}.
  • Assim o nosso caso é o especial com a=1.

Resposta

\displaystyle \widehat f(\omega)=\frac{2}{1+\omega^{2}}

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