- Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
b)
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Temos a função
dada por . - O objetivo é calcular a transformada de Fourier de
, isto é o integral
onde
é a frequência real. (Vou usar essa convenção usual de transformada sem fatores
.)
- Observação: o enunciado geral mencionou
em problemas parecidos; para a função dada aqui o parâmetro vale (porque ). Mais adiante mostro a forma para um genérico por didática.
Passo 2
Propriedade útil:
é uma função par (even). Explico por que isso facilita.
- Dizer que
é par significa para todo . No nosso caso . - Para uma função par, a transformada de Fourier com a convenção escolhida satisfaz
porque a parte em seno (imaginária) é ímpar e se anula.
- Portanto podemos escrever, aproveitando a paridade,
Isto reduz o problema a calcular uma integral real em
.
Passo 3
Aplicando ao nosso
(para
isso é
):
- Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
- Antes de calcular, comento rapidamente sobre convergência: a presença do fator
garante decaimento exponencial, então a integral converge absolutamente para todo .
Passo 4
Cálculo da integral
. Vou mostrar duas maneiras, escolho a que é mais direta.
Método via exponencial complexa (mais sistemático):
- Use
. Assim
- A integral geométrica é imediata porque
, logo
- Tomando a parte real:
- Calcule a parte real escrevendo o conjugado:
. Assim
Resultado:
Passo 5
Voltando à transformada (lembrar do fator 2 do passo 2):
Comentário didático e generalização:
- Se em vez de
tivéssemos com , o mesmo cálculo dá
- Assim o nosso caso é o especial com
.