Considere um pêndulo simples, modelado pela EDO de segunda ordem não linear
d^2 thetad t^2+gL=0,
onde theta é o ângulo mostrado na figura, L é o comprimento do fio e g é a aceleração da gravidade local.
Sem perda de generalidade equação pode ser escrita em termos de unidades adimensionais, tal que:
ddottheta+sin theta=0,
onde os pontos denotam derivação com respeito ao tempo adimensional. A partir de agora, trabalharemos com essa equação, de forma que não é necessário utilizar unidades e vamos utilizar t para denotar o tempo adimensional.
Reescreva o sistema usando representação em espaço de estados, com entrada nula e duas saídas: a posição (x1) e a velocidade angular (x2).

Passo 1

Beleza, a gente tem um pêndulo simples cuja equação é
ddottheta + sintheta = 0
e o exercício pede para reescrever isso em forma de espaço de estados, sem entrada (ou seja ) e com duas saídas:
  • = posição angular ( ),
  • = velocidade angular ( ).
Conteúdo: conversão de uma EDO de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem (estado‐espaço).
O que vamos precisar:
  1. Definir variáveis de estado.
  2. Escrever as derivadas dessas variáveis em função delas mesmas.
  3. Montar o vetor de estado e o vetor de saída.

Passo 2

Definindo as variáveis de estado:
x1 = theta, x2 = dottheta
Por que isso?
Qualquer EDO de ordem vira um sistema de EDOs de 1ª ordem se a gente chama cada derivada até a de ordem de variável de estado.

Passo 3

Agora escreve as derivadas destas variáveis:
  1. dot x2 = -sin(x1)
  2. .
    Mas da equação original . Como , temos

Passo 4

Como não temos nenhuma entrada (é um sistema autónomo), dot x = dot x1dot x2 = x2-,sin(x1), .
O vetor de estado fica
y = y1y2 = x1x2
e as saídas, que são simplesmente e , viram

Resposta

O sistema em espaço de estados (sem entrada) e com as duas saídas solicitadas é
boxed dot x &= x2 [6pt] -sin(x1), u = 0,[4pt] y &= x1 [2pt] x2

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