Considere um pêndulo simples, modelado pela EDO de segunda ordem não linear
onde
é o ângulo mostrado na figura,
é o comprimento do fio e
é a aceleração da gravidade local.
Sem perda de generalidade equação pode ser escrita em termos de unidades adimensionais, tal que:
onde os pontos denotam derivação com respeito ao tempo adimensional. A partir de agora, trabalharemos com essa equação, de forma que não é necessário utilizar unidades e vamos utilizar
para denotar o tempo adimensional.
Reescreva o sistema usando representação em espaço de estados, com entrada nula e duas saídas: a posição
e a velocidade angular
.
Sem perda de generalidade equação pode ser escrita em termos de unidades adimensionais, tal que:
Reescreva o sistema usando representação em espaço de estados, com entrada nula e duas saídas: a posição
Passo 1
Beleza, a gente tem um pêndulo simples cuja equação é
e o exercício pede para reescrever isso em forma de espaço de estados, sem entrada (ou seja
) e com duas saídas:
-
= posição angular ( ), -
= velocidade angular ( ).
Conteúdo: conversão de uma EDO de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem (estado‐espaço).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir variáveis de estado.
- Escrever as derivadas dessas variáveis em função delas mesmas.
- Montar o vetor de estado e o vetor de saída.
Passo 2
Definindo as variáveis de estado:
Por que isso?
Qualquer EDO de ordem vira um sistema de
EDOs de 1ª ordem se a gente chama cada derivada até a de ordem
de variável de estado.
Qualquer EDO de ordem
Passo 3
Agora escreve as derivadas destas variáveis:
-
-
.
Mas da equação original. Como , temos
Passo 4
Como não temos nenhuma entrada (é um sistema autónomo),
.
O vetor de estado fica
O vetor de estado fica
e as saídas, que são simplesmente
e
, viram
Resposta
O sistema em espaço de estados (sem entrada) e com as duas saídas solicitadas é