Prove matematicamente que o Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto. Trata-se de um sistema causal e com memória? Por quê? (Valor da questão =1,0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto. LTI significa Linear e Invariante no Tempo. Além disso, precisamos analisar se esse sistema é causal e se ele tem memória. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas lineares, invariância no tempo, causalidade e memória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sistema linear. Um sistema é linear se ele satisfaz dois princípios: superposição e homogeneidade. Isso significa que se duas entradas diferentes são aplicadas ao sistema, a resposta para a soma dessas entradas é a soma das respostas individuais. Matematicamente, se resulta em e resulta em , então para qualquer constante e , resulta em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se o comportamento do sistema não muda ao longo do tempo. Ou seja, se a entrada for deslocada no tempo, a saída também será deslocada da mesma forma. Matemáticamente, se , então , onde é um deslocamento no tempo.

Passo 4

O Filtro de Médias Móveis funciona pegando uma média de valores discretos de uma sequência de entrada. Geralmente, é definido como:
y[n] = 1N sumk=0^N-1 x[n - k]
onde é o número de pontos na média. Vamos verificar a linearidade e a invariância no tempo para esse filtro.

Passo 5

Linearidade: Suponha duas entradas Ta x1[n] + b x2[n] = 1N sumk=0^N-1 (a x1[n - k] + b x2[n - k]) = a y1[n] + b y2[n] e com saídas e . Aplicando a superposição:
Então, o filtro é linear.

Passo 6

Invariância no Tempo: Se deslocarmos a entrada no tempo, ou seja, y[n] = 1N sumk=0^N-1 x[(n - n0) - k] = 1N sumk=0^N-1 x[(n - k) - n0] = y[n - n0] , a saída será:
Então, o filtro é invariante no tempo.

Passo 7

Como o Filtro de Médias Móveis é linear e invariante no tempo, podemos concluir que ele é um sistema LTI discreto.

Passo 8

Vamos agora analisar a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada, não dos futuros. No filtro de médias móveis:
y[n] = 1N sumk=0^N-1 x[n - k]
A saída depende apenas de , ou seja, valores atuais e passados. Então, o sistema é causal.

Passo 9

Por fim, vamos falar sobre memória. Um sistema possui memória se a saída em algum instante depende de entradas anteriores ou posteriores. No nosso filtro:
y[n] = 1N sumk=0^N-1 x[n - k]
Como a saída depende de múltiplos valores passados de , o sistema tem memória.

Resposta

O Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto porque é linear e invariante no tempo. Além disso, ele é causal, já que a saída depende apenas de valores atuais e passados da entrada, e possui memória, pois utiliza múltiplos valores anteriores para calcular a média.

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