Prove matematicamente que o Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto. Trata-se de um sistema causal e com memória? Por quê? (Valor da questão
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto. LTI significa Linear e Invariante no Tempo. Além disso, precisamos analisar se esse sistema é causal e se ele tem memória. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas lineares, invariância no tempo, causalidade e memória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema linear. Um sistema é linear se ele satisfaz dois princípios: superposição e homogeneidade. Isso significa que se duas entradas diferentes são aplicadas ao sistema, a resposta para a soma dessas entradas é a soma das respostas individuais. Matematicamente, se
resulta em
e
resulta em
, então para qualquer constante
e
,
resulta em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se o comportamento do sistema não muda ao longo do tempo. Ou seja, se a entrada for deslocada no tempo, a saída também será deslocada da mesma forma. Matemáticamente, se
, então
, onde
é um deslocamento no tempo.
Passo 4
O Filtro de Médias Móveis funciona pegando uma média de valores discretos de uma sequência de entrada. Geralmente, é definido como:
onde
é o número de pontos na média. Vamos verificar a linearidade e a invariância no tempo para esse filtro.
Passo 5
Linearidade: Suponha duas entradas
e
com saídas
e
. Aplicando a superposição:
Então, o filtro é linear.
Passo 6
Invariância no Tempo: Se deslocarmos a entrada no tempo, ou seja,
, a saída será:
Então, o filtro é invariante no tempo.
Passo 7
Como o Filtro de Médias Móveis é linear e invariante no tempo, podemos concluir que ele é um sistema LTI discreto.
Passo 8
Vamos agora analisar a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada, não dos futuros. No filtro de médias móveis:
A saída
depende apenas de
, ou seja, valores atuais e passados. Então, o sistema é causal.
Passo 9
Por fim, vamos falar sobre memória. Um sistema possui memória se a saída em algum instante depende de entradas anteriores ou posteriores. No nosso filtro:
Como a saída depende de múltiplos valores passados de
, o sistema tem memória.
Resposta
O Filtro de Médias Móveis é um sistema LTI discreto porque é linear e invariante no tempo. Além disso, ele é causal, já que a saída depende apenas de valores atuais e passados da entrada, e possui memória, pois utiliza múltiplos valores anteriores para calcular a média.