Considere a seguinte função de transferência:
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5 s+6}
Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na: Forma canônica observável.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5s+6}
O que se pede: obter a representação no espaço de estados na forma canônica observável.
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • Denominador: s^{2}+5s+6. Logo os coeficientes do polinômio característico são a_{1}=5 e a_{0}=6.
  • Numerador: s+6. Logo os coeficientes do numerador (grau \le n-1) são b_{1}=1 (coeficiente de s) e b_{0}=6 (termo constante).
  • A função é própria (grau do numerador \le grau do denominador -1), então existe representação em espaço de estados sem derivadas de u.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): é prático construir primeiro a forma canônica controlável (companion controlável) — que tem fórmula padrão simples — e então obter a forma canônica observável aplicando uma transposição adequada. Isso evita manipulações com derivadas de u e reduz chance de erro. Vou justificar matematicamente a relação entre as duas formas mais abaixo.

Passo 3

Lembrando a forma companion controlável para um sistema de segunda ordem com denominador s^{2}+a_{1}s+a_{0} e numerador b_{1}s+b_{0}:
  • Matrizes gerais (companion controlável):
A_{c}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -a_{0} & -a_{1}\end{pmatrix},\qquad B_{c}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C_{c}=\begin{pmatrix}b_{0} & b_{1}\end{pmatrix},\qquad D=0.
Explicação do porquê: calcula-se a função de transferência
G(s)=C_{c}(sI-A_{c})^{-1}B_{c}+D.
Para a matriz A_{c} acima tem-se
sI-A_{c}=\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]a_{0} & s+a_{1}\end{pmatrix},
cujo determinante é s^{2}+a_{1}s+a_{0} (o denominador). Ao inverter e multiplicar por B_{c} obtém-se um vetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]s\end{pmatrix}, de modo que
G(s)=\frac{b_{1}s+b_{0}}{s^{2}+a_{1}s+a_{0}},
ou seja, a escolha de C_{c}=(b_{0}\;\; b_{1}) produz o numerador correto.]

Passo 4

Substituindo os coeficientes do enunciado ( a_{1}=5,\;a_{0}=6,\;b_{1}=1,\;b_{0}=6) obtemos o companion controlável específico:
A_{c}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-6 & -5\end{pmatrix},\qquad B_{c}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C_{c}=\begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix},\qquad D=0.]

Passo 5

Agora construímos a forma canônica observável a partir da transposição do companion controlável. Regra usada:
A_{o}=A_{c}^{T},\qquad B_{o}=C_{c}^{T},\qquad C_{o}=B_{c}^{T},\qquad D=0.
Justificativa curta e matemática: para matrizes escalares-valorizadas (SISO) vale
C_{o}(sI-A_{o})^{-1}B_{o} = B_{c}^{T}\bigl(sI-A_{c}^{T}\bigr)^{-1}C_{c}^{T} = B_{c}^{T}\Bigl(\bigl(sI-A_{c}\bigr)^{-1}\Bigr)^{T}C_{c}^{T} = \bigl(C_{c}(sI-A_{c})^{-1}B_{c}\bigr)^{T},
como o resultado é escalar, sua transposta é ele mesmo, logo a função de transferência fica inalterada. (Foi usada a propriedade (sI-A^{T})^{-1}=((sI-A)^{-1})^{T}.)
Aplicando a transposição aos A_{c},B_{c},C_{c} do Passo 4:
A_{o}=A_{c}^{T}=\begin{pmatrix}0 & -6\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix},\qquad B_{o}=C_{c}^{T}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C_{o}=B_{c}^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix},\qquad D=0.]

Passo 6

Escrevendo as equações no domínio do tempo (forma padrão):
\dot{x}(t)=A_{o}\,x(t)+B_{o}\,u(t),\qquad y(t)=C_{o}\,x(t)+D\,u(t).
Com as matrizes numéricas:
\dot{x}(t)=\begin{pmatrix}0 & -6\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix}x(t) +\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}u(t), \qquad y(t)=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}x(t).
Interpretação rápida e útil: como C_{o}=(0\;1), tem-se y=x_{2}, ou seja, o segundo componente do vetor de estado é exatamente a saída. Essa é uma característica típica da forma canônica observável.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}0 & -6\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix},\qquad D=0]

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