Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na: Forma canônica observável.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5s+6}
O que se pede: obter a representação no espaço de estados na forma canônica observável.
Informações explícitas extraídas do enunciado:
Denominador: s^{2}+5s+6. Logo os coeficientes do polinômio característico são a_{1}=5 e a_{0}=6.
Numerador: s+6. Logo os coeficientes do numerador (grau \le n-1) são b_{1}=1 (coeficiente de s) e b_{0}=6 (termo constante).
A função é própria (grau do numerador \le grau do denominador -1), então existe representação em espaço de estados sem derivadas de u.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): é prático construir primeiro a forma canônica controlável (companion controlável) — que tem fórmula padrão simples — e então obter a forma canônica observável aplicando uma transposição adequada. Isso evita manipulações com derivadas de u e reduz chance de erro. Vou justificar matematicamente a relação entre as duas formas mais abaixo.
Passo 3
Lembrando a forma companion controlável para um sistema de segunda ordem com denominador s^{2}+a_{1}s+a_{0} e numerador b_{1}s+b_{0}:
cujo determinante é s^{2}+a_{1}s+a_{0} (o denominador). Ao inverter e multiplicar por B_{c} obtém-se um vetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]s\end{pmatrix}, de modo que
G(s)=\frac{b_{1}s+b_{0}}{s^{2}+a_{1}s+a_{0}},
ou seja, a escolha de C_{c}=(b_{0}\;\; b_{1}) produz o numerador correto.]
Passo 4
Substituindo os coeficientes do enunciado (a_{1}=5,\;a_{0}=6,\;b_{1}=1,\;b_{0}=6) obtemos o companion controlável específico:
como o resultado é escalar, sua transposta é ele mesmo, logo a função de transferência fica inalterada. (Foi usada a propriedade (sI-A^{T})^{-1}=((sI-A)^{-1})^{T}.)
Aplicando a transposição aos A_{c},B_{c},C_{c} do Passo 4:
Interpretação rápida e útil: como C_{o}=(0\;1), tem-se y=x_{2}, ou seja, o segundo componente do vetor de estado é exatamente a saída. Essa é uma característica típica da forma canônica observável.]