Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
b(t)=10 \operatorname{rect}(2000 t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
b(t)=10\,\operatorname{rect}(2000\,t),
e pede:
  • Calcular a transformada de Fourier do sinal b(t).
  • Esboçar o sinal no domínio da frequência (forma geral, posições dos zeros, amplitude do lóbulo principal).
  • Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é um pulso retangular multiplicado por 10.
  • A função \operatorname{rect}(\cdot) é a versão padrão (igual a 1 para |x|\le 1/2 e 0 fora).
  • Foi fornecido apenas o item (b) explicitamente (ou seja, somente b(t)). Não foram fornecidos os sinais dos itens (a) e (c). Portanto não há como calcular as transformadas nem a largura de banda nulo-a-nulo de (a) e (c) sem os seus respectivos enunciados — isso precisa estar explícito; aqui só podemos resolver (b).

Passo 2

Escolher a convenção de transformada de Fourier e explicar as propriedades usadas.
Vou usar a convenção de frequência em hertz (convenção usual de engenharia):
X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt.
Duas propriedades que usarei (explicadas em seguida):
  1. Transformada do pulso retangular padrão: se \displaystyle x(t)=\operatorname{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right) (ou seja, pulso de duração T, valor 1 para |t|\le T/2), então
X(f)=T\cdot\operatorname{sinc}(T f),
onde a função \operatorname{sinc} aqui é a definição normalizada
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
Explicação curta: a transformada do retângulo é a função sinc porque a integral de e^{-j2\pi f t} sobre um intervalo finito resulta em uma razão de senos que se escreve como \operatorname{sinc}.
  1. Escala no tempo: se y(t)=x(a t) com a\neq 0, então sua transformada é
Y(f)=\frac{1}{|a|} X\!\left(\frac{f}{a}\right),
outra forma prática é reescrever x(a t) como x\!\big(t/(1/a)\big) e identificar o T.
Vou também usar que multiplicar no tempo por constante escala a amplitude da transformada linearmente (fator multiplicativo fora da função no tempo é multiplicativo na transformada).

Passo 3

Identificar a forma do pulso em b(t) e o seu parâmetro temporal.
Temos \operatorname{rect}(2000\,t). Escrever como \operatorname{rect}\!\big(\dfrac{t}{T}\big) ajuda a ver o T. Igualando:
2000\,t = \frac{t}{T}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{1}{2000}.
Interpretação física: \operatorname{rect}(2000 t) é um pulso de duração
T=\frac{1}{2000}\\ \text{s},
isto é, o pulso tem valor 1 para |t|\le T/2 = \dfrac{1}{4000} e zero fora. A altura do pulso é multiplicada por 10, então a área total (valor DC) do pulso é
\text{Área} = 10\cdot T = 10\cdot\frac{1}{2000}=\frac{10}{2000}=0,005.Á

Passo 4

Aplicar a transformada conhecida do retângulo e a escala temporal para obter B(f).
Usando a fórmula do Passo 2 para \operatorname{rect}\!\big(\dfrac{t}{T}\big):
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t/T)\}=T\operatorname{sinc}(T f).
No nosso caso b(t)=10\operatorname{rect}(2000 t)=10\operatorname{rect}\!\big(\dfrac{t}{T}\big) com T=\dfrac{1}{2000}. Logo
B(f)=10\cdot T\cdot \operatorname{sinc}(T f).
Substituindo T:
B(f)=10\cdot\frac{1}{2000}\cdot \operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right) =\;0,005\;\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right).
Lembrando explicitamente a forma da sinc:
\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right)=\frac{\sin\!\big(\pi \frac{f}{2000}\big)}{\pi \frac{f}{2000}}.
Comentário didático: essa expressão nos diz que o espectro é uma função real e par (porque o pulso no tempo é real e par), com pico em f=0 de amplitude B(0)=0,005 (a área do pulso) e forma de lóbulos sinc que decaem e mudam de sinal após cada zero.

Passo 5

Determinar os zeros do espectro e a largura de banda nulo-a-nulo do item (b).
Zeros da função \operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{f}{2000}\right) ocorrem quando o argumento \dfrac{f}{2000} é um inteiro não nulo:
\frac{f}{2000}= \pm 1,\pm 2,\ldots
Logo os primeiros zeros (os mais próximos de zero) estão em
f=\pm 2000\\ \text{Hz}.
A largura de banda nulo-a-nulo é a distância entre o primeiro zero negativo e o primeiro zero positivo:
\text{Largura nulo-a-nulo} = 2000-(-2000)=4000\\ \text{Hz}.

Passo 6

Esboço do sinal no domínio da frequência (descrição prática para desenhar na prova).
  • Eixo horizontal: frequência f em hertz.
  • O espectro B(f) é real e par; o eixo vertical mostra a amplitude (pode desenhar a magnitude |B(f)| ou a própria B(f) com as oscilações de sinal).
  • Pico central em f=0 com valor
B(0)=0,005.
  • Primeiros zeros em f=\pm 2000\\ \text{Hz}. O lóbulo principal está contido entre -2000 e 2000 Hz.
  • Lóbulos secundários aparecem além dos zeros, com amplitude decrescente e alternância de sinal (positivo, negativo, positivo, …). Para a magnitude desenhe o lóbulo principal com altura 0,005 e largamente centrado entre -2000 e 2000, depois decaimento com próximos zeros em \pm 4000\\ \text{Hz}, etc.
  • Fase: como B(f) é real e par, a fase é 0 quando B(f)>0 e \pi (ou -\pi) quando B(f)<0. Para a magnitude isso não aparece, mas para o espectro complexo a fase alterna conforme os lóbulos mudam de sinal.
Dica prática na prova: desenhe o lóbulo principal como uma função sinc central com pico 0,005 e os primeiros zeros em \pm 2000\\ \text{Hz}; marque a largura nulo-a-nulo =4000\\ \text{Hz}.

Passo 7

Resumo dos valores numéricos importantes (pronto para decorar/colocar na folha de prova):
  • Duração do pulso: T=\dfrac{1}{2000}\\ \text{s}.
  • Valor DC / pico do espectro em f=0: B(0)=0,005.
  • Primeiros zeros: f=\pm 2000\\ \text{Hz}.
  • Largura nulo-a-nulo do item (b): 4000\\ \text{Hz}.

Resposta

B(f)=0,005\;\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right)=0,005\;\frac{\sin\!\big(\pi \frac{f}{2000}\big)}{\pi \frac{f}{2000}}.
Largura de banda nulo-a-nulo (a): não fornecido (sinal do item (a) não foi dado).
Largura de banda nulo-a-nulo (b): 4000\\ \text{Hz}.
Largura de banda nulo-a-nulo (c): não fornecido (sinal do item (c) não foi dado).

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