Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede:
- Calcular a transformada de Fourier do sinal
. - Esboçar o sinal no domínio da frequência (forma geral, posições dos zeros, amplitude do lóbulo principal).
- Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é um pulso retangular multiplicado por
. - A função
é a versão padrão (igual a para e fora). - Foi fornecido apenas o item (b) explicitamente (ou seja, somente
). Não foram fornecidos os sinais dos itens (a) e (c). Portanto não há como calcular as transformadas nem a largura de banda nulo-a-nulo de (a) e (c) sem os seus respectivos enunciados — isso precisa estar explícito; aqui só podemos resolver (b).
Passo 2
Escolher a convenção de transformada de Fourier e explicar as propriedades usadas.
Vou usar a convenção de frequência em hertz (convenção usual de engenharia):
Duas propriedades que usarei (explicadas em seguida):
- Transformada do pulso retangular padrão: se
(ou seja, pulso de duração , valor 1 para ), então
onde a função
aqui é a definição normalizada
Explicação curta: a transformada do retângulo é a função sinc porque a integral de
sobre um intervalo finito resulta em uma razão de senos que se escreve como
.
- Escala no tempo: se
com , então sua transformada é
outra forma prática é reescrever
como
e identificar o
.
Vou também usar que multiplicar no tempo por constante escala a amplitude da transformada linearmente (fator multiplicativo fora da função no tempo é multiplicativo na transformada).
Passo 3
Identificar a forma do pulso em
e o seu parâmetro temporal.
Temos
. Escrever como
ajuda a ver o
. Igualando:
Interpretação física:
é um pulso de duração
isto é, o pulso tem valor
para
e zero fora. A altura do pulso é multiplicada por
, então a área total (valor DC) do pulso é
Passo 4
Aplicar a transformada conhecida do retângulo e a escala temporal para obter
.
Usando a fórmula do Passo 2 para
:
No nosso caso
com
. Logo
Substituindo
:
Lembrando explicitamente a forma da sinc:
Comentário didático: essa expressão nos diz que o espectro é uma função real e par (porque o pulso no tempo é real e par), com pico em
de amplitude
(a área do pulso) e forma de lóbulos sinc que decaem e mudam de sinal após cada zero.
Passo 5
Determinar os zeros do espectro e a largura de banda nulo-a-nulo do item (b).
Zeros da função
ocorrem quando o argumento
é um inteiro não nulo:
Logo os primeiros zeros (os mais próximos de zero) estão em
A largura de banda nulo-a-nulo é a distância entre o primeiro zero negativo e o primeiro zero positivo:
Passo 6
Esboço do sinal no domínio da frequência (descrição prática para desenhar na prova).
- Eixo horizontal: frequência
em hertz. - O espectro
é real e par; o eixo vertical mostra a amplitude (pode desenhar a magnitude ou a própria com as oscilações de sinal). - Pico central em
com valor
- Primeiros zeros em
. O lóbulo principal está contido entre e Hz. - Lóbulos secundários aparecem além dos zeros, com amplitude decrescente e alternância de sinal (positivo, negativo, positivo, …). Para a magnitude desenhe o lóbulo principal com altura
e largamente centrado entre e , depois decaimento com próximos zeros em , etc. - Fase: como
é real e par, a fase é quando e (ou ) quando . Para a magnitude isso não aparece, mas para o espectro complexo a fase alterna conforme os lóbulos mudam de sinal.
Dica prática na prova: desenhe o lóbulo principal como uma função sinc central com pico
e os primeiros zeros em
; marque a largura nulo-a-nulo
.
Passo 7
Resumo dos valores numéricos importantes (pronto para decorar/colocar na folha de prova):
- Duração do pulso:
. - Valor DC / pico do espectro em
: . - Primeiros zeros:
. - Largura nulo-a-nulo do item (b):
.
Resposta
Largura de banda nulo-a-nulo (a): não fornecido (sinal do item (a) não foi dado).
Largura de banda nulo-a-nulo (b): .
Largura de banda nulo-a-nulo (c): não fornecido (sinal do item (c) não foi dado).
Largura de banda nulo-a-nulo (b):
Largura de banda nulo-a-nulo (c): não fornecido (sinal do item (c) não foi dado).