Calcule a transformada inversa de fourier de tempo discreto (DTFT) para a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a transformada inversa de Fourier de tempo discreto (DTFT) para a função
. Isso está relacionado a análise de sinais na área de processamento de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a DTFT e como aplicar a fórmula da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier para tempo discreto. A DTFT inversa é dada por:
Aqui,
é o sinal no domínio do tempo, e
é a DTFT do sinal.
Passo 3
No nosso caso,
é igual a 1 quando
e 0 quando
. Isso significa que a função
é uma espécie de “janela” que vale 1 em uma faixa de frequências e 0 fora dela.
Passo 4
Vamos inserir essa função na fórmula da transformada inversa:
Como
é 1 apenas de
a
, a integral se reduz a esse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Sabemos que
pode ser integrado facilmente. A integral de
em relação a
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão, lembramos que
. Substituindo isso, temos:
Resposta
A transformada inversa de Fourier de tempo discreto é: