Calcule a transformada inversa de fourier de tempo discreto (DTFT) para a função
X(e^j Omega)=ll 1, & |Omega| <= W 0, & W<|Omega|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a transformada inversa de Fourier de tempo discreto (DTFT) para a função . Isso está relacionado a análise de sinais na área de processamento de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a DTFT e como aplicar a fórmula da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier para tempo discreto. A DTFT inversa é dada por:
x[n] = 12pi integral-pi^pi X(e^j Omega) e^j Omega n dOmega
Aqui, é o sinal no domínio do tempo, e é a DTFT do sinal.

Passo 3

No nosso caso, é igual a 1 quando e 0 quando . Isso significa que a função é uma espécie de “janela” que vale 1 em uma faixa de frequências e 0 fora dela.

Passo 4

Vamos inserir essa função na fórmula da transformada inversa:
x[n] = 12pi integral-W^W 1 cdot e^j Omega n dOmega
Como é 1 apenas de a , a integral se reduz a esse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
x[n] = 12pi integral-W^W e^j Omega n dOmega
Sabemos que integral e^j Omega n dOmega = e^j Omega nj n pode ser integrado facilmente. A integral de em relação a é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
x[n] = 12pi [ e^j W n - e^-j W nj n ]

Passo 7

Simplificando a expressão, lembramos que x[n] = 12pi cdot 2j sin(W n)j n = sin(W n)pi n . Substituindo isso, temos:

Resposta

A transformada inversa de Fourier de tempo discreto é:
x[n] = sin(W n)pi n

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