Um sistema MIMO é representado pela matriz de transferência abaixo. Determinar os pólos e os zeros multivariáveis do sistema. O sistema é estável ou instável? Justifique-se.
G(s)=1(s+1)(s+2)[cc s+1 & 0 1 & (s+2)(s-1) ]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema MIMO com matriz de transferência
G(s)=1(s+1)(s+2) s+1 & 0 1 & (s+2)(s-1)
E a tarefa é:
  1. Achar os pólos multivariáveis;
  2. Achar os zeros multivariáveis (chamados também de invariant zeros);
  3. Dizer se o sistema é estável ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares multivariáveis, pólos são as raízes do denominador comum, zeros são os valores de que fazem a matriz perder posto (invariant zeros), e estabilidade se todos os pólos tiverem parte real negativa.
O que a gente vai precisar:
  • Extrair o denominador comum pra achar os pólos.
  • Calcular o determinante da matriz de transferência (ou da parte numeradora) para ver onde ela fica singular.
  • Observar cancelamentos entre zeros e polos.

Passo 2

Primeiro a gente acha os pólos.
Repara que (s+1)(s+2)=0 tem o fator s=-1, s=-2 no denominador, e esse mesmo fator vale para toda a matriz. Então os pólos são as raízes de
Logo:
Teoria rápida: polos são valores de que fazem algum elemento do sistema “ir ao infinito”. Num MIMO com denominador comum, basta zerar esse denominador.

Passo 3

Agora os zeros multivariáveis (invariant zeros). A forma prática é calcular
det G(s);=;detl(N(s)r),/,l((s+1)(s+2)r)^2
onde
N(s)= s+1 & 0 1 & (s+2)(s-1)
Primeiro o determinante de det N(s) =(s+1)cdot (s+2)(s-1);-;0cdot1 =(s+1)(s+2)(s-1) :
det G(s) =(s+1)(s+2)(s-1)(s+1)^2(s+2)^2 =s-1(s+1)(s+2)
Então
s=1
Os zeros do determinante de são onde o numerador some, sem contar cancelamentos com o denominador.
  • O numerador zera em .
  • Os fatores e aparecem tanto no numerador original quanto no denominador e se cancelam, então não contam como zeros do sistema final (são polos cancelados).
Conclusão: o único invariant zero é
Teoria rápida: invariant zeros são valores de que fazem a matriz de transferência perder posto de verdade, não só singularidades removíveis.

Passo 4

Agora a estabilidade. O sistema é estável se todos os pólos tiverem parte real negativa. Encontramos:
s=-1, s=-2
os dois estão no semiplano esquerdo (parte real negativa). Então o sistema é estável.

Resposta

Pólos: e .
Zero multivariável (invariant zero): .
O sistema é estável, pois todos os pólos têm parte real negativa.

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