Um sistema MIMO é representado pela matriz de transferência abaixo. Determinar os pólos e os zeros multivariáveis do sistema. O sistema é estável ou instável? Justifique-se.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema MIMO com matriz de transferência
E a tarefa é:
- Achar os pólos multivariáveis;
- Achar os zeros multivariáveis (chamados também de invariant zeros);
- Dizer se o sistema é estável ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares multivariáveis, pólos são as raízes do denominador comum, zeros são os valores de
que fazem a matriz perder posto (invariant zeros), e estabilidade se todos os pólos tiverem parte real negativa.
O que a gente vai precisar:
- Extrair o denominador comum pra achar os pólos.
- Calcular o determinante da matriz de transferência (ou da parte numeradora) para ver onde ela fica singular.
- Observar cancelamentos entre zeros e polos.
Passo 2
Primeiro a gente acha os pólos.
Repara que tem o fator
no denominador, e esse mesmo fator vale para toda a matriz. Então os pólos são as raízes de
Repara que
Logo:
Teoria rápida: polos são valores de
que fazem algum elemento do sistema “ir ao infinito”. Num MIMO com denominador comum, basta zerar esse denominador.
Passo 3
Agora os zeros multivariáveis (invariant zeros). A forma prática é calcular
onde
Primeiro o determinante de
:
Então
Os zeros do determinante de
são onde o numerador some, sem contar cancelamentos com o denominador.
- O numerador
zera em . - Os fatores
e aparecem tanto no numerador original quanto no denominador e se cancelam, então não contam como zeros do sistema final (são polos cancelados).
Conclusão: o único invariant zero é
Teoria rápida: invariant zeros são valores de
que fazem a matriz de transferência perder posto de verdade, não só singularidades removíveis.
Passo 4
Agora a estabilidade. O sistema é estável se todos os pólos tiverem parte real negativa. Encontramos:
os dois estão no semiplano esquerdo (parte real negativa). Então o sistema é estável.
Resposta
Pólos:
e
.
Zero multivariável (invariant zero): .
O sistema é estável, pois todos os pólos têm parte real negativa.
Zero multivariável (invariant zero):
O sistema é estável, pois todos os pólos têm parte real negativa.