Usando a integral, obtenha X(omega) para os sinais:
x(t)=e^-2 t[u(t)-u(t-4)]
Comprove seus resultados utilizando propriedades e a tabela de transformadas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar a transformada de Fourier
X(omega)=Fx(t)
do sinal
x(t)=e^-2tl[u(t)-u(t-4)r]
Conteúdo: Transformada de Fourier, definição por integral e algumas propriedades (tabela de transformadas e deslocamento no tempo). Vamos usar a definição da integral de Fourier e depois confirmar usando a tabela e propriedade de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, pela definição:
X(omega) =integral-infty^+inftyx(t),e^-jomega t,dt =integral0^4e^-2t,e^-jomega t,dt =integral0^4e^-(2+jomega),t,dt
Para integrar integral0^4e^-(2+jomega)tdt =[-12+jomegae^-(2+jomega)t]0^4 =1 - e^-(2+jomega),42+jomega , basta usar :

Passo 3

Agora a gente confirma pelo método “tabela + propriedades”:
  1. Da tabela:
Fe^-2tu(t)=12+jomega
  1. Observe que
x(t)=e^-2tu(t);-;e^-2tu(t-4)
Mas Fe^-2(t-4)u(t-4) =e^-jomega,4,12+jomega .
Pela propriedade de deslocamento no tempo,
Fe^-2tu(t-4) =e^-8,e^-j4omega,12+jomega
Então
X(omega) =12+jomega -e^-8e^-j4omega2+jomega =1 - e^-8e^-j4omega2+jomega,
Subtraindo das duas partes:
que é exatamente o mesmo resultado da integral.

Resposta

boxedX(omega)=1 - e^-8e^-j4omega2 + jomega

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