Usando a integral, obtenha X(omega) para os sinais:
x(t)=2 t[u(t)-u(t-4)]
Comprove seus resultados utilizando propriedades e a tabela de transformadas.

Passo 1

Beleza, a pergunta é: “Calcular a transformada de Fourier
x(t)=2,t,[u(t)-u(t-4)]
e depois mostrar usando propriedades e a tabela que dá o mesmo resultado.”
Isso é Transformada de Fourier, e a gente vai precisar:
• Definição pela integral
• Integração por partes
• Propriedade de linearidade e deslocamento no tempo
• Alguma fórmula da tabela (por exemplo, da rampa t,u(t))

Passo 2

Escrevendo X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt =integral0^42t,e^-jomega t,dt pela definição:
Repare que fora de a vale zero porque vem .

Passo 3

Vamos calcular
I=u,v|0^4-integral0^4v,du =-2tjomegae^-jomega t|0^4 +integral0^42jomegae^-jomega t,dt
usando integração por partes. Defina
  • , então
  • , então .
Essa segunda integral é direta:
.

Passo 4

Montando tudo:
  1. Termo de borda:
    2jomega,e^-jomega t-jomega|0^4 =-2(jomega)^2l(e^-j4omega-1r)
  2. A integral restante:
I=-8jomegae^-j4omega -2(jomega)^2l(e^-j4omega-1r)
Somando 1) e 2):
X(omega)=I =-8jomegae^-j4omega -2e^-j4omega(jomega)^2 +2(jomega)^2
Logo
X(omega) =2(jomega)^2l[1-e^-j4omegal(1+j4omegar)r]
Se quiser, fatoriza:

Passo 5

Agora a prova rápida com propriedades e tabela:
  1. Pela tabela temos a transformada da rampa truncada em t,u(t)long<=ftrightarrow 1(jomega)^2+pi,de: 2(jomega)^2l[1-e^-j4omega(1+j4omega)r]
    2) Usando linearidade e deslocamento de tempo em , concluiríamos que
    a parte de “cortar” de a gera exatamente
    (Detalhes de se cancelam porque é tempo-limitado.)
Ou seja, deu certinho com o integral direto.

Resposta

boxed X(omega) =2(jomega)^2,l[,1 -e^-j4omegal(1+j4omegar)r]

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