Calcule
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função dada abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de Laplace
O que pede: calcular
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
.
Informações fornecidas relevantes: o denominador é , que pode ser visto como
. Não há outras condições apresentadas, então vamos buscar
para
.
Informações fornecidas relevantes: o denominador é
Passo 2
Lembrete das fórmulas fundamentais que vou usar (com explicação do que cada coisa significa):
Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é a variável complexa (na prática, para convergência tomamos
com parte real suficientemente grande).
Fórmulas úteis (transformadas diretas):
onde
é uma constante que representa a frequência angular da função seno ou cosseno, e
é o tempo (variável da função no domínio temporal). Essas fórmulas decorrem da integral da definição da transformada de Laplace aplicada a
ou
e valem para
(condição de convergência).
O que isso significa na prática para a inversa: se na forma
aparece um numerador igual a
, a transformada inversa é
. Se o numerador fosse
, a inversa seria
.
Passo 3
Identificar e adaptar
à forma conhecida.
Temos
Para usar a fórmula
preciso que o numerador seja exatamente
. Aqui
, então o numerador desejado seria
. Vou reescrever
de modo a extrair esse
:
Passo 4
Aplicar a transformada inversa conhecida.
Pelo resultado da tabela,
Como
, pela linearidade da transformada inversa (constantes saem da transformada),
É bom também verificar rapidamente: aplicando a transformada direta em
obtém-se
, que coincide com
. A transformada inversa vale para
.
Passo 5
Observações finais e lembrete prático para a prova: sempre que você ver uma expressão
, tente escrever a constante como
. Assim a inversa será
. No caso aqui
, deu
. Isso é uma técnica rápida que salva tempo na hora da prova.