Calcule x(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função dada abaixo.
X(s)=\frac{6}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função no domínio de Laplace
X(s)=\frac{6}{s^{2}+4}.
O que pede: calcular x(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de X(s).
Informações fornecidas relevantes: o denominador é s^{2}+4, que pode ser visto como s^{2}+(2)^{2}. Não há outras condições apresentadas, então vamos buscar x(t) para t\ge 0.

Passo 2

Lembrete das fórmulas fundamentais que vou usar (com explicação do que cada coisa significa):
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, para convergência tomamos s com parte real suficientemente grande).
Fórmulas úteis (transformadas diretas):
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
onde a>0 é uma constante que representa a frequência angular da função seno ou cosseno, e t é o tempo (variável da função no domínio temporal). Essas fórmulas decorrem da integral da definição da transformada de Laplace aplicada a \sin(at) ou \cos(at) e valem para \operatorname{Re}(s)>0 (condição de convergência).
O que isso significa na prática para a inversa: se na forma \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} aparece um numerador igual a a, a transformada inversa é \sin(at). Se o numerador fosse s, a inversa seria \cos(at).

Passo 3

Identificar e adaptar X(s) à forma conhecida.
Temos
X(s)=\frac{6}{s^{2}+4}=\frac{6}{s^{2}+(2)^{2}}.
Para usar a fórmula \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} preciso que o numerador seja exatamente a. Aqui a=2, então o numerador desejado seria 2. Vou reescrever 6 de modo a extrair esse 2:
\frac{6}{s^{2}+4}=3\cdot\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Aplicar a transformada inversa conhecida.
Pelo resultado da tabela,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{2}+4}\right\}(t)=\sin(2t).
Como X(s)=3\cdot\frac{2}{s^{2}+4}, pela linearidade da transformada inversa (constantes saem da transformada),
x(t)=3\cdot \sin(2t).
É bom também verificar rapidamente: aplicando a transformada direta em 3\sin(2t) obtém-se 3\cdot \dfrac{2}{s^{2}+4}=\dfrac{6}{s^{2}+4}, que coincide com X(s). A transformada inversa vale para t\ge 0.

Passo 5

Observações finais e lembrete prático para a prova: sempre que você ver uma expressão \dfrac{\text{const}}{s^{2}+a^{2}}, tente escrever a constante como k\cdot a. Assim a inversa será k\sin(at). No caso aqui 6=3\cdot 2, deu 3\sin(2t). Isso é uma técnica rápida que salva tempo na hora da prova.

Resposta

x(t)=3\sin(2t),\quad t\ge 0

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