Determine a resposta ao estado nulo dos sistemas y_{1}(t) e y_{2}(t) a seguir a partir de cada uma das entradas x_{1}(t)=u(t), x_{2}(t)=e^{-t} u(t) e x_{3}(t)=e^{-2 t} u(t). Considere as respostas ao impulso unitário dos sistemas y_{1}(t) e y_{2}(t) como sendo, respectivamente, h_{1}(t) e h_{2}(t).
Sistema 2: h(t)=\left[2 e^{-3 t}-e^{-2 t}\right] u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • O enunciado pede: para o sistema causal com resposta ao impulso h(t) dada, determinar a resposta ao estado nulo y(t) para cada uma das entradas
    \;x_{1}(t)=u(t),\;x_{2}(t)=e^{-t}u(t),\;x_{3}(t)=e^{-2t}u(t).
  • Informação fornecida (peguei isto do enunciado):
    • A resposta ao impulso do sistema é \;h(t)=\bigl[2e^{-3t}-e^{-2t}\bigr]u(t).
  • O objetivo: calcular y_i(t)= (h*x_i)(t) para i=1,2,3, assumindo resposta ao estado nulo (ou seja, zero-estado, convolução causal).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo).
  • Para um sistema LTI causal com entrada x(t) e resposta ao impulso h(t), a resposta ao estado nulo é dada pela convolução causal
y(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,
porque para sinais multiplicados por u(t) o integrand é zero fora de \tau\in[0,t].
  • Aqui u(t) é a função degrau unitário, que garante causalidade (sinais valem zero para t<0).
  • Estratégia prática: substituir h(\tau) e x(t-\tau) na integral, simplificar o integrando (muitas vezes dá soma de exponenciais), e integrar termo a termo em \tau. Em seguida factorizar fatores dependentes de t que podem sair da integral quando conveniente.

Passo 3

Cálculo para x_{1}(t)=u(t).
  • Escrevo a convolução:
y_{1}(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.
Como u(t-\tau)=1 para \tau\in[0,t], fica
y_{1}(t)=\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\bigr]\,d\tau.
  • Integro termo a termo:
\int_{0}^{t}2e^{-3\tau}\,d\tau =2\left[-\frac{1}{3}e^{-3\tau}\right]_{0}^{t} =2\left(-\frac{1}{3}e^{-3t}+\frac{1}{3}\right) =\frac{2}{3}\bigl(1-e^{-3t}\bigr),
\int_{0}^{t}-e^{-2\tau}\,d\tau =-\left[-\frac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_{0}^{t} =-\left(-\frac{1}{2}e^{-2t}+\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}e^{-2t}-\frac{1}{2}.
  • Somando:
y_{1}(t)=\frac{2}{3}\bigl(1-e^{-3t}\bigr)+\frac{1}{2}e^{-2t}-\frac{1}{2}.
  • Simplifico as constantes:
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6},
portanto
y_{1}(t)=\frac{1}{6}-\frac{2}{3}e^{-3t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\quad t\ge 0.
Incluo o degrau para indicar causalidade:
y_{1}(t)=\biggl[\frac{1}{6}-\frac{2}{3}e^{-3t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\biggr]u(t).

Passo 4

Cálculo para x_{2}(t)=e^{-t}u(t).
  • A convolução:
y_{2}(t)=\int_{0}^{t} \bigl[2e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\bigr]\;e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
  • Faço fator comum e^{-t} que não depende de \tau:
y_{2}(t)=e^{-t}\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\bigr]e^{\tau}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-2\tau}-e^{-\tau}\bigr]\,d\tau.
  • Integro termo a termo:
\int_{0}^{t}2e^{-2\tau}\,d\tau =2\left[-\frac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_{0}^{t} =-e^{-2t}+1,
\int_{0}^{t}-e^{-\tau}\,d\tau =-\left[-e^{-\tau}\right]_{0}^{t} = -\bigl(-e^{-t}+1\bigr)=e^{-t}-1.
  • Somei as duas integrais:
\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-2\tau}-e^{-\tau}\bigr]\,d\tau = (-e^{-2t}+1) + (e^{-t}-1) = -e^{-2t}+e^{-t}.
  • Multiplico por e^{-t}:
y_{2}(t)=e^{-t}\bigl(-e^{-2t}+e^{-t}\bigr) = -e^{-3t}+e^{-2t}.
Incluir u(t):
y_{2}(t)=\bigl[-e^{-3t}+e^{-2t}\bigr]u(t).

Passo 5

Cálculo para x_{3}(t)=e^{-2t}u(t).
  • Convolução:
y_{3}(t)=\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\bigr]e^{-2(t-\tau)}\,d\tau.
  • Fatoro e^{-2t}:
y_{3}(t)=e^{-2t}\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\bigr]e^{2\tau}\,d\tau = e^{-2t}\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-\tau}-1\bigr]\,d\tau.
  • Integro termo a termo:
\int_{0}^{t}2e^{-\tau}\,d\tau =2\left[-e^{-\tau}\right]_{0}^{t}=2\bigl(-e^{-t}+1\bigr)=2-2e^{-t},
\int_{0}^{t}-1\,d\tau = -t.
  • Soma:
\int_{0}^{t}\bigl[2e^{-\tau}-1\bigr]\,d\tau = 2-2e^{-t}-t.
  • Multiplico por e^{-2t}:
y_{3}(t)=e^{-2t}\bigl(2-2e^{-t}-t\bigr) =2e^{-2t}-2e^{-3t}-t\,e^{-2t}.
Incluo u(t):
y_{3}(t)=\bigl[2e^{-2t}-2e^{-3t}-t\,e^{-2t}\bigr]u(t).

Passo 6

Checagens rápidas e observações (motivacionais).
  • Verificação simples: em t=0 todas as três respostas valem zero (conforme esperado para convolução causal com entradas contínuas em zero). Pode checar substituindo t=0 nas expressões.
  • A técnica usada (convolução direta com mudança de fatorização) é uma ferramenta que dá sempre resultados com somas de exponenciais e (em casos como o terceiro) termos multiplicados por t. É uma técnica que dá para fazer “na caneta” durante a prova.

Resposta

\displaystyle y_{1}(t)=\biggl[\frac{1}{6}-\frac{2}{3}e^{-3t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\biggr]u(t)\n
\displaystyle y_{2}(t)=\bigl[-e^{-3t}+e^{-2t}\bigr]u(t)\n
\displaystyle y_{3}(t)=\bigl[2e^{-2t}-2e^{-3t}-t\,e^{-2t}\bigr]u(t)

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