Determine a resposta ao estado nulo dos sistemas
e
a seguir a partir de cada uma das entradas
e
. Considere as respostas ao impulso unitário dos sistemas
e
como sendo, respectivamente,
e
.
Sistema 2:
Sistema 2:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- O enunciado pede: para o sistema causal com resposta ao impulso
dada, determinar a resposta ao estado nulo para cada uma das entradas
- Informação fornecida (peguei isto do enunciado):
- A resposta ao impulso do sistema é
- A resposta ao impulso do sistema é
- O objetivo: calcular
para , assumindo resposta ao estado nulo (ou seja, zero-estado, convolução causal).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo).
- Para um sistema LTI causal com entrada
e resposta ao impulso , a resposta ao estado nulo é dada pela convolução causal
porque para sinais multiplicados por
o integrand é zero fora de
.
- Aqui
é a função degrau unitário, que garante causalidade (sinais valem zero para ). - Estratégia prática: substituir
e na integral, simplificar o integrando (muitas vezes dá soma de exponenciais), e integrar termo a termo em . Em seguida factorizar fatores dependentes de que podem sair da integral quando conveniente.
Passo 3
Cálculo para
.
- Escrevo a convolução:
Como
para
, fica
- Integro termo a termo:
- Somando:
- Simplifico as constantes:
portanto
Incluo o degrau para indicar causalidade:
Passo 4
Cálculo para
.
- A convolução:
- Faço fator comum
que não depende de :
- Integro termo a termo:
- Somei as duas integrais:
- Multiplico por
:
Incluir
:
Passo 5
Cálculo para
.
- Convolução:
- Fatoro
:
- Integro termo a termo:
- Soma:
- Multiplico por
:
Incluo
:
Passo 6
Checagens rápidas e observações (motivacionais).
- Verificação simples: em
todas as três respostas valem zero (conforme esperado para convolução causal com entradas contínuas em zero). Pode checar substituindo nas expressões. - A técnica usada (convolução direta com mudança de fatorização) é uma ferramenta que dá sempre resultados com somas de exponenciais e (em casos como o terceiro) termos multiplicados por
. É uma técnica que dá para fazer “na caneta” durante a prova.