Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
x(t)=4 \cos ^{2}(2 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace por inspeção em tabelas da função
x(t)=4\cos^{2}(2t)\,u(t).
Informações dadas:
  • A função é x(t)=4\cos^{2}(2t)\,u(t).
  • u(t) é a função degrau unitário (presença dela indica que a transformada é a unilateral/classical para sinais causais).
  • Pedem para usar inspeção em tabelas (ou seja, usar identidades e entradas conhecidas da tabela de Laplace, não derivar a transformada integralmente).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar \cos^{2} numa combinação de termos cuja transformada está na tabela. Lembrar a identidade trigonométrica:
\cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr).
Aqui escolha \theta=2t. Então
\cos^{2}(2t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(4t)\bigr).
Multiplicando por 4 obtemos
4\cos^{2}(2t)=4\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(4t)\bigr)=2\bigl(1+\cos(4t)\bigr).
Portanto a função fica
x(t)=2\bigl(1+\cos(4t)\bigr)u(t)=2\,u(t)+2\cos(4t)\,u(t).

Passo 3

Agora vamos usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace (ferramentinha essencial em provas):
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\},
onde a,b são constantes e f,g funções de t. Isso permite transformar cada termo separadamente e somar.
Também precisamos das entradas de tabela relevantes:
  • Para o degrau unitário:
\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s},\qquad \text{(válido para \(\Re(s)>0\))}á
  • Para o cosseno multiplicado por u(t):
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\,u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \text{(válido para \(\Re(s)>0\))}á
Nessas fórmulas, s é a variável complexa da transformada e \omega é a frequência angular do cosseno.

Passo 4

Aplicando linearidade aos termos que temos:
\mathcal{L}\{2\,u(t)\}=2\cdot\mathcal{L}\{u(t)\}=2\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s}.
E, com \omega=4,
\mathcal{L}\{2\cos(4t)\,u(t)\}=2\cdot\mathcal{L}\{\cos(4t)\,u(t)\}=2\cdot\frac{s}{s^{2}+4^{2}}=2\cdot\frac{s}{s^{2}+16}=\frac{2s}{s^{2}+16}.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos a transformada total:
X(s)=\frac{2}{s}+\frac{2s}{s^{2}+16}.
Se quiser uma única fração (opcional), faça o somatório com denominador comum s(s^{2}+16):
X(s)=\frac{2(s^{2}+16)+2s^{2}}{s(s^{2}+16)}=\frac{4s^{2}+32}{s(s^{2}+16)}=\frac{4\bigl(s^{2}+8\bigr)}{s\bigl(s^{2}+16\bigr)}.
Região de convergência (importante em provas): \Re(s)>0.

Resposta

X(s)=\frac{2}{s}+\frac{2s}{s^{2}+16}=\frac{4\bigl(s^{2}+8\bigr)}{s\bigl(s^{2}+16\bigr)},\quad \Re(s)>0

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