Determine a resposta ao estado nulo dos sistemas
e
a seguir a partir de cada uma das entradas
e
. Considere as respostas ao impulso unitário dos sistemas
e
como sendo, respectivamente,
e
.
Sistema 1:
Sistema 1:
Passo 1
O enunciado fornece o impulso unitário (resposta ao impulso) do Sistema 1 como
. As entradas pedidas são:
-
, -
, -
.
O pedido: para cada uma das entradas acima, determinar a resposta ao estado nulo (zero-state response) do sistema com
. Ou seja, calcular
para cada
.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (com calma e devagar): a resposta ao estado nulo de um sistema LTI causal é a convolução do impulso com a entrada. A fórmula da convolução no domínio do tempo é
onde
é a variável de integração (tempo “deslocado”). Aqui:
-
é a resposta ao impulso avaliada em ; -
é a entrada deslocada; -
é a saída procurada.
Por que podemos simplificar os limites de integração? Como
é causal (vale zero para
) e cada entrada tem fator
(também causal), o integrando só pode ser não nulo quando
. Logo a integral reduz para
e no final sempre multiplicamos por
para garantir causalidade.
Escolhi fazer a convolução diretamente no tempo porque, com
e as entradas exponenciais e degrau, a integral fica simples e direta (menos conta que usar transformada de Laplace, e é o método que você consegue fazer à mão na prova).
Passo 3
Calcular
para
.
Escrevemos a integral de convolução:
porque
sempre que
(estamos dentro do intervalo de integração).
Agora integramos:
Portanto, lembrando a causalidade,
Passo 4
Calcular
para
.
A convolução:
Simplificando o integrando:
que é independente de
. Então
Incluindo a causalidade,
Passo 5
Calcular
para
.
A convolução:
Agrupando expoentes:
Assim
Simplificando,
Passo 6
Resumo rápido e dica para a prova: todas as integrais são fáceis porque
e as entradas são exponenciais/degrau. Uma alternativa é usar transformada de Laplace:
,
,
,
, multiplicar para obter
e inverter — dá os mesmos resultados. Mas na prática, a convolução direta foi mais rápida aqui.
Resposta
Para
Para
Para
Para
Para