Determine a resposta ao estado nulo dos sistemas y_{1}(t) e y_{2}(t) a seguir a partir de cada uma das entradas x_{1}(t)=u(t), x_{2}(t)=e^{-t} u(t) e x_{3}(t)=e^{-2 t} u(t). Considere as respostas ao impulso unitário dos sistemas y_{1}(t) e y_{2}(t) como sendo, respectivamente, h_{1}(t) e h_{2}(t).
Sistema 1: h(t)=e^{-t} u(t)

Passo 1

O enunciado fornece o impulso unitário (resposta ao impulso) do Sistema 1 como h(t)=e^{-t}u(t). As entradas pedidas são:
  • x_1(t)=u(t),
  • x_2(t)=e^{-t}u(t),
  • x_3(t)=e^{-2t}u(t).
O pedido: para cada uma das entradas acima, determinar a resposta ao estado nulo (zero-state response) do sistema com h(t)=e^{-t}u(t). Ou seja, calcular y(t)=h(t)*x(t) para cada x_i(t).

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (com calma e devagar): a resposta ao estado nulo de um sistema LTI causal é a convolução do impulso com a entrada. A fórmula da convolução no domínio do tempo é
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,
onde \tau é a variável de integração (tempo “deslocado”). Aqui:
  • h(\tau) é a resposta ao impulso avaliada em \tau;
  • x(t-\tau) é a entrada deslocada;
  • y(t) é a saída procurada.
Por que podemos simplificar os limites de integração? Como h(t)=e^{-t}u(t) é causal (vale zero para t<0) e cada entrada tem fator u(t) (também causal), o integrando só pode ser não nulo quando 0\le\tau\le t. Logo a integral reduz para
y(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,
e no final sempre multiplicamos por u(t) para garantir causalidade.
Escolhi fazer a convolução diretamente no tempo porque, com h(t)=e^{-t}u(t) e as entradas exponenciais e degrau, a integral fica simples e direta (menos conta que usar transformada de Laplace, e é o método que você consegue fazer à mão na prova).

Passo 3

Calcular y(t) para x_1(t)=u(t).
Escrevemos a integral de convolução:
y_1(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cdot 1 \, d\tau
porque x_1(t-\tau)=u(t-\tau)=1 sempre que 0\le\tau\le t (estamos dentro do intervalo de integração).
Agora integramos:
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = \big[-e^{-\tau}\big]_{0}^{t} = -e^{-t}-(-e^{0}) = 1 - e^{-t}.
Portanto, lembrando a causalidade,
y_1(t) = \big(1 - e^{-t}\big)\,u(t).

Passo 4

Calcular y(t) para x_2(t)=e^{-t}u(t).
A convolução:
y_2(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cdot e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Simplificando o integrando:
e^{-\tau} \cdot e^{-(t-\tau)} = e^{-t},
que é independente de \tau. Então
y_2(t)=\int_{0}^{t} e^{-t}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} d\tau = e^{-t}\cdot t.
Incluindo a causalidade,
y_2(t)=t\,e^{-t}\,u(t).

Passo 5

Calcular y(t) para x_3(t)=e^{-2t}u(t).
A convolução:
y_3(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cdot e^{-2(t-\tau)}\,d\tau.
Agrupando expoentes:
e^{-\tau}\cdot e^{-2(t-\tau)} = e^{-2t}\,e^{\tau}.
Assim
y_3(t)=e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{-2t}\big[e^{\tau}\big]_{0}^{t} = e^{-2t}\big(e^{t}-1\big).
Simplificando,
y_3(t)=\big(e^{-t}-e^{-2t}\big)\,u(t).

Passo 6

Resumo rápido e dica para a prova: todas as integrais são fáceis porque h(\tau) e as entradas são exponenciais/degrau. Uma alternativa é usar transformada de Laplace: H(s)=1/(s+1), X_1(s)=1/s, X_2(s)=1/(s+1), X_3(s)=1/(s+2), multiplicar para obter Y(s) e inverter — dá os mesmos resultados. Mas na prática, a convolução direta foi mais rápida aqui.

Resposta

Para x_1(t)=u(t):\; y(t)=\big(1 - e^{-t}\big)\,u(t)
Para x_2(t)=e^{-t}u(t):\; y(t)=t\,e^{-t}\,u(t)
Para x_3(t)=e^{-2t}u(t):\; y(t)=\big(e^{-t}-e^{-2t}\big)\,u(t)

Exercícios relacionados