Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=5(s+1)(s+2)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=5(s+1)(s+2)^2
Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e as fórmulas básicas
L^-1tfrac1s+a=e^-a t e L^-1tfrac1(s+a)^2=t,e^-a t

Passo 2

Escrevemos a fração parcial:
5(s+1)(s+2)^2 =As+1+Bs+2+C(s+2)^2
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)^2, obtém-se a identidade
5 ;=; A,(s+2)^2 ;+; B,(s+1)(s+2);+;C,(s+1)

Passo 3

Expandindo e coletando em potências de
Comparando com , vem o sistema
Da primeira equação . Na terceira,
Logo e .

Passo 4

Com esses valores, a decomposição fica
F(s) =5s+1-5s+2-5(s+2)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
L^-1tfrac1s+1=e^-t,
L^-1tfrac1s+2=e^-2t e
L^-1tfrac1(s+2)^2=t,e^-2t,
obtém-se
f(t)=5,e^-t-5,e^-2t-5,t,e^-2t

Resposta

f(t)=5,e^-t-5,e^-2t-5,t,e^-2t

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