Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{s e^{-3 s}}{s^{2}+4}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a função no domínio de s:
F(s)=\frac{s e^{-3 s}}{s^{2}+4}.
  • A pergunta é: calcular a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
  • Informação relevante a notar: há um fator exponencial e^{-3s} multiplicando uma função racional em s.

Passo 2

Lembrete da definição e da transformada conhecida que vamos usar.
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (assumida zero para t<0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
A transformada inversa é denotada por \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\} e obtemos f(t) a partir de F(s).
  • Transformada padrão útil: para a>0 vale
\mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Explicação rápida dessa fórmula (por que é verdade): considere a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Escrevendo \cos(at)=\Re\{e^{i a t}\} e integrando a exponencial,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a}\quad(\Re(s)>0).
Tomando a parte real e racionalizando obtém-se
\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
que é justamente a transformada indicada. Dessa forma, a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(a t).

Passo 3

Teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento) — enunciado e prova curta.
  • Enunciado: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário (Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
  • Prova curta (variável de integração): calcule \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t-a)u(t-a)\,dt=\int_{a}^{\infty} e^{-s t} f(t-a)\,dt.
Fazendo a substituição \tau=t-a obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau+a)} f(\tau)\,d\tau=e^{-a s}\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau)\,d\tau=e^{-a s}F(s).
Isso mostra o teorema. Em palavras: o fator e^{-a s} em F(s) corresponde a um atraso no tempo multiplicado pelo degrau u(t-a).

Passo 4

Aplicação direta ao problema.
  • Identificamos na fração racional a transformada conhecida: com a=2 temos
\frac{s}{s^{2}+4}=\frac{s}{s^{2}+2^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t).
  • Como nosso F(s) é e^{-3s} vezes essa função, ou seja
F(s)=e^{-3s}\cdot\frac{s}{s^{2}+4},
pelo teorema do deslocamento no tempo a transformada inversa é a função deslocada e cortada pelo degrau:
f(t)=\cos\bigl(2(t-3)\bigr)\,u(t-3).

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (como usar na prova).
  • Significado prático: f(t)=0 para t<3. Para t\ge 3, f(t)=\cos(2(t-3)).
  • Exemplo de verificação numérica simples: f(2)=0 (porque 2<3); f(4)=\cos(2\cdot(4-3))=\cos(2).

Resposta

\displaystyle f(t)=\cos\bigl(2(t-3)\bigr)\,u(t-3)

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