Calcule a transformada inversa de Laplace
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada a função no domínio de
:
- A pergunta é: calcular a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
- Informação relevante a notar: há um fator exponencial
multiplicando uma função racional em .
Passo 2
Lembrete da definição e da transformada conhecida que vamos usar.
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
(assumida zero para ) é
A transformada inversa é denotada por
e obtemos
a partir de
.
- Transformada padrão útil: para
vale
Explicação rápida dessa fórmula (por que é verdade): considere a integral
Escrevendo
e integrando a exponencial,
Tomando a parte real e racionalizando obtém-se
que é justamente a transformada indicada. Dessa forma, a transformada inversa é
Passo 3
Teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento) — enunciado e prova curta.
- Enunciado: se
, então
onde
é a função degrau unitário (Heaviside) que vale
para
e
para
.
- Prova curta (variável de integração): calcule
:
Fazendo a substituição
obtemos
Isso mostra o teorema. Em palavras: o fator
em
corresponde a um atraso no tempo multiplicado pelo degrau
.
Passo 4
Aplicação direta ao problema.
- Identificamos na fração racional a transformada conhecida: com
temos
- Como nosso
é vezes essa função, ou seja
pelo teorema do deslocamento no tempo a transformada inversa é a função deslocada e cortada pelo degrau:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (como usar na prova).
- Significado prático:
para . Para , . - Exemplo de verificação numérica simples:
(porque ); .